031

Rozkłady zmiennych losowych

31

gdzie jc G R. W następnych paragrafach omówimy najważniejsze rozkłady dyskretne i typu ciągłego.

Niezależność zmiennych losowych definiuje się przy pomocy niezależności zdarzeń lub przy pomocy dystrybuant. TUtaj podamy definicję niezależności zmiennych losowych tylko częściowo w terminach dystrybuant. Ogólne definicje zostaną podane później, w punkcie 7.1.1 przy okazji rozpatrywania wektorów losowych i ich dystrybuant.

Definicja.

Zmienne losowe X i Y są niezależne, gdy dla dowolnych x i y

Pr({<0: X{(o) < x,Y(a>) < y})

= Pr ({(O : X((0) < *})Pr({(0 : Y(to) < y}) = F(x)G(y), (2.1.4)

gdzie F jest dystrybuantą zmiennej losowej X, a G - zmiennej losowej Y.

Uwaga. Jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, a funkcje rzeczywiste g i h są przedziałami ciągłe, to zmienne losowe g(X) i h(Y) są też niezależne.

Mówimy, że X_x ,X₂,... ,X_n jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, gdy ^miernych dla dowolnych liczb x_i zachodzi równość:

Immych

n

Pr({x₍ <xjn{x₂ <x₂}n---n{x„ <x„}) = TT^-(^),

(2.1.5)

i=i

gdzie Ffc) = Pr(X_/ < jc) są dystrybuantami zmiennych losowych X_t,

Z tej definicji wynika, że zmienne losowe X₁,X₂,.,.,X„ są niezależne, gdy niezależne są zdarzenia {X_x < x_x}, {X₂ < x₂},..., {X_n < x_n} dla dowolnego układu liczb x_vx₂, ... ,x_n. Poprzednia uwaga pozostaje prawdziwa i w tym przypadku, przyjmując następującą postać.

Uwaga. Jeżeli X_{ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, a funkcje rzeczywiste g_t(x) są przedziałami ciągłe, to g_f(X.) są też niezależne.

Niezależność W przypadku zmiennych losowych dyskretnych warunek niezależności przyj -

dyskretnych muje postać

zmiennych

losowych    Pr(X = x_bY -y_}) = Pr(X = x_Ł)Pr(7 = _yj),

dla wszystkich *■, y_;.