031

2.1. Rozkłady i parametry zmiennych losowych

31

Ponieważ dystrybuanta F(x) jest ciągła, to Pr(X = —y) = 0. Rozważmy dwa przypadki. Dla y e (0,1] otrzymujemy

^ n y+^l (->) +1 y+l+y-l    2y    y

G(y) = -₄---— =-4-= T ⁼ 2-

Dla y G (1,3] otrzymujemy

c{y) = —

ponieważ F(—y) = 0. Dla y > 3 otrzymujemy F(y) = 1 i F(—y) = 0, więc G(y) = 1. Reasumując, dystrybuanta zmiennej losowej Y jest postaci

G(y) =

0	dla y ^ 0,
y 2	dla 0 <y < 1,
y+i 4	dla 1 < y < 3,
1	dla y > 3.

Zadania

Zadanie 2.1.1.

Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja

F(x) =

0.5 e“ bx + 0.75 1

dla x < 1, dla 1 < x ^ 2, dla jc > 2.

jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej XI Przyjmując a = 0.5 oraz 6 = 0.1 obliczyć:

a)    Pr(l ^X<2),

b)    Pr(0<X^l),

c)    Pr(0.5«SXs$ 1.5),

d)    Pr(-l<X<3).

Zadanie 2.1.2.

Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja

/

0

F(x) =

X³ +a 1

dla jc ^ — 1, dla — 1 < x < b, dla x > b,

jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X? Obliczyć kwantyle, przyjmując a = 1.125, b =-0.6.