1tom019

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI 40

Rozkład zero-jedynkowy — zmienna losowa dyskretna X przyjmuje tylko dwie wartości x, = 1 i x, = 0 z dodatnimi prawdopodobieństwami.

Rozkład Bernoulliego — określa prawdopodobieństwo m-krotnego wystąpienia zdarzenia losowego w ciągu rt niezależnych obserwacji.

Rozkład Poissona — zmienna dyskretna X ma nieskończoną, lecz przeliczalną liczbę wartości. Schemat losowy, któremu odpowiada rozkład Poissona, jest rozpatrywany w teorii procesów stochastycznych. Rozkład ten jest granicą ciągów rozkładów Bernoulliego przy n -* oo dla p = X/n.

Rozkład normalny — zmienna losowa ciągła X jest obustronnie nieograniczona o funkcji gęstości symetrycznej względem wartości średniej E(x) = p. Rozkład normalny zajmuje centralną pozycję w rachunku prawdopodobieństwa. Jeżeli bowiem rozpatrywane zjawisko może być traktowane jako wynik sumowania znacznej liczby niezależnych składników losowych, to jego rozkład prawdopodobieństwa jest bliski rozkładowi normalnemu.

Rozkład logarytmiczno-normałny — funkcja gęstości jest ograniczona od dołu i ma dodatnią symetrię. W zastosowaniach często występuje dwuparametrowy rozkład logary-tmiczno-normalny, w którym 6 = 0. Wiele zjawisk podlega rozkładowi zbliżonemu do rozkładu logarytmiczno-normalnego. Dystrybuanta tego rozkładu jest granicą przy n -* co ciągu dystrybuant F„(z), gdzie Z = X₁X₁...X„ jest iloczynem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach, o skończonych i różnych od zera momentach pierwszego i drugiego rzędu.

Zmienne losowe i ich rozkłady jednowymiarowe nie zawsze są wystarczające do przedstawienia bardziej złożonych zagadnień. Zachodzi często potrzeba stosowania n wymiarowej zmiennej losowej, dla której podstawowe parametry definiuje się podobnie [1.10]. Przy analizie danych statystycznych natomiast istotną rolę odgrywają parametry rozkładów zmiennych losowych. Należą do nich przede wszystkim:

1.    Wartość średnia E(x), zwana także wartością oczekiwaną lub przeciętną, zdefiniowana zależnością

—    dla zmiennej losowej dyskretnej E(x) = Xx,P(A' = x₍)

i

—    dla zmiennej losowej ciągłej E(x)= J x/(x)dx

-OO

Wartość średnia jest jedną z tzw. miar położenia zmiennej losowej X, charakteryzujących usytuowanie rozkładu prawdopodobieństwa wzdłuż osi liczbowej X;

2.    Odchylenie średnie D(x), zdefiniowane zależnością

—    dla zmiennej losowej dyskretnej

D(x) = Jz&t-EWyPtf = x,)

—    dla zmiennej losowej ciągłej

D(x)= / J [x-E(x)]²/(x)dx

Zachodzi zależność D(x) = _V/E(x²)—[E(x)]².

Wyrażenie W(x) = D²(x) nazywa się wariancją zmiennej losowej X.

3. Moment początkowy oc_k(x) rzędu k — dla zmiennej losowej dyskretnej

a_ł(x) = E(x‘) = Ixf-P(2f = x_f)

i

_ dla zmiennej losowej ciągłej a_t(x) = E(x*) = f x^kf(x)dx

- cO

4 Moment centralny p_k(x) rzędu k ’ — dla zmiennej losowej dyskretnej

p_k(x) = E[x —E(x)]^k = I[x,-E(x)]‘P(X = xj

i

— dla zmiennej losowej ciągłej

/t»(x) = E[x-E(x)]‘= j [x —E(x)]^k/(x)dx

— CO

Zauważmy, że a,(x) = E(x) oraz p₂(x) = D²x.

Momenty <x_t(x) i p_k(x) stanowią podstawę jednego z powszechnie stosowanych systemów miar statystycznych [1.4].

Niezawodność elementu

Jeżeli przyjmuje się, że stan, w którym znajduje się element jest zmienną losową o rozkładzie zero-jedynkowym (binarnym), to stan x_A = 1 można nazwać stanem pracy, zaś stan x₂ = 0 — stanem uszkodzeń.

Stan elementu może być funkcją czasu lub obciążenia. Przedział czasu, w którym element jest nieprzerwanie sprawny nazywa się czasem pracy elementu, zaś obciążenie elementu, przy którym element ulega uszkodzeniu — obciążeniem granicznym. Czas pracy elementu albo obciążenie graniczne jest zazwyczaj nieujemną zmienną losową oznaczoną X, a jej rozkład prawdopodobieństwa

F(x) = P(JĆ < x), (xSsO)

Prawdopodobieństwo pracy elementu w czasie równym co najmniej t, albo prawdopodobieństwo tego, że obciążenie graniczne elementu jest równe co najmniej t, nazywa się funkcją niezawodności elementu lub niezawodnością i oznacza się P((), t 3= 0.

Zachodzi zależność

P(t) = P(* >t) = l-F(t),    (t> 0)

W teorii niezawodności charakterystycznym pojęciem jest funkcja intensywności uszkodzeń.

Funkcją intensywności uszkodzeń jest funkcja — dla zmiennej losowej dyskretnej

r(k) = Jt-I Pi

i

gdzie p_k = PjA' = k), k = 1,2,..., — dla zmiennej losowej ciągłej

r(r) =

no

P(0

przy założeniu, że dystrybuanta F (0 jest różniczkowalna oraz t ^ 0, P(t) > 0.

Dla zmiennej ciągłej, mając funkcję intensywności uszkodzeń r(t), można znaleźć funkcję niezawodności

P(0 = exp^— Jr(u)duj 0