1tom009

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI 20

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI 20

				0,-1	o.	0 ... 0
a„-i		0	> 0.....	0,-3	0,-2	a„-i - 0
	a„-2	0,-1		0,-5	0,-4	0,-3 - ^0
^an-S	^an-*	0,-3		ot-„	02-,	O3-, ■■■ o0

przy czym a,- = O dla j < 0.

1.2.2. Macierze, wyznaczniki. Rozwiązywanie układów równań algebraicznych

Macierze i wyznaczniki

Macierzą liczbową jest nazywane odwzorowanie zbioru par (ij) (przy czym 1 ^ i ^ m, 1 =$ j < n) liczb naturalnych na zbiór liczb zespolonych lub rzeczywistych.

Macierz o m wierszach i n kolumnach (przy czym n ^ m), nazywa się macierzą prostokątną wymiarów m x n i oznacza się symbolem

"u	012
O21	O22

"l,

0₂» gdzie a,j — elementy macierzy.

Macierz, w której liczba kolumn równa się liczbie wierszy nazywa się macierzą kwadratową.

Macierzą transportowaną do macierzy A nazywa się macierz A^r, utworzoną z elementów macierzy A przez zamianę i-tego wiersza na i-tą kolumnę (i = 1,2.....m) bez zmiany

kolejności.

Działania na macierzach

Dwie macierze A i B można dodać tylko wtedy, gdy są tych samych wymiarów. Wówczas

A + B = C

gdzie C=(c_ij) = (a_iJ+b_iJ).    ...    .    .    , . ,

Mnożenie macierzy A = (a,-,) przez liczbę k jest równoznaczne pomnożeniu każdego elementu macierzy A przez tę liczbę, czyli

kA = (ka_u)

Mnożenie dwóch macierzy prostokątnych jest wykonalne tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy. Mnożenie dokonuje się wówczas w następujący sposób:

A_mxr‘ Brxn — C_mxn

r

gdzie elementy macierzy C„_xn wylicza się ze wzoru c_(J = £ a_ikb_kj.

k= 1

Jest to tzw. mnożenie lewostronne. Mnożenie macierzy nie jest na ogól przemienne.

Macierzy kwadratowej A„_x„ można przyporządkować liczbę zespoloną lub rzeczywistą zwaną wyznacznikiem stopnia n danej macierzy. Wyznacznik macierzy A oznaczono symbolem

	"u	oI2 .	■ «!,
det A =	«21	0 22 ■	• ^a2n
	0,1	0,2 •	■ o„„

Minorem My elementu a,,- macierzy kwadratowej A jest nazywany wyznacznik stopnia (_n—l) zbudowany z elementów macierzy A po skreśleniu elementów stojących w i-tym wierszu i y-tej kolumnie.

Dopełnieniem algebraicznym elementu macierzy A jest nazywany iloczyn

^,J Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych równa się iloczynowi ich wyznaczników, a zatem

det (A B) = det/i det B

Wyznacznik macierzy kwadratowej można obliczyć korzystając m.in. z rozwinięcia Laplacc’a. Wyznacznik jest wówczas równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza lub kolumny i odpowiadającego każdemu elementowi dopełnienia algebraicznego. A więc w przypadku:

_ rozwinięcia względem i-tego wiersza

dcl A = fljj A_n +a_i2A_i2+...+a_inA_l„

— lub rozwinięcia względem fc-tej kolumny

det A = a_lkA_lk + a_2kA_2k + ... + a_nkA_nk

Macierz kwadratową A nazywa się nieosobliwą, jeżeli det A # 0.

Macierzą dołączoną A^d macierzy kwadratowej A nazywa się transponowaną macierz dopełnień algebraicznych elementów a_fJ- macierzy A, czyli A^d = {A_i2y.

Macierzą odwrotną nieosobliwej macierzy kwadratowej A nazywa się taką macierz kwadratową A ~ ’, która spełnia warunek

AA-' = A~'-A — E gdzie E jest macierzą jednostkową postaci

E =

1	0	0.	.0
0	1	0.	.0
0	0	0.	.1

o elementach e_i} -

1> gdy i =j 0, gdy i # j

tego samego wymiaru co macierz A.

Można wykazać, że macierz odwrotna ma postać

Aⁱ

det/1

det/1 # 0

Szczególnymi postaciami macierzy kwadratowej są ponadto macierze: — zerowa o elementach a_:j = 0 dla i,j = 1,2, ...,n;

diagonalna o elementach a_tj =

Ki, gdy i =j

0, gdy i

0 a₂ 0 0

diag[_ai>...,a_n] =

— ^aji gdy i # j

, wtedy A ■

0 gdy i=j

symetryczna o elementach a_u - a^ dla i,j = 1,...,«, wtedy A ^r = A ; skośnie symetryczna o elementach a_{j

ortogonalna o elementach rzeczywistych, dla której A^T = A ^x, det/t = +1.