1tom016

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI I FIZYKI 34

<J,Wy”⁾+a,-,Wy" ^M+ ... + a₀(x)y =f(x) a_n(x) * O

Jeżeli w tym równaniu funkcja f(x) = O, to równanie jest jednorodnym.

Fundamentalnym układem rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu rc-tego nazywa się układ liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych tego równania. Przypomnijmy, że jeżeli funkcje y,(x), i = 1,2, ...,n mają w pewnym przedziale D pochodne do rzędu (n— 1) ciągłe i funkcje te są liniowo niezależne w tym przedziale, to wyznacznik Wrońskiego postaci

yx	yn
y\	y'n
?r^l>	/r^l)

jest w całym przedziale D różny od zera.

Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego liniowego jednorodnego jest kombinacja liniowa, liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych tego równania. A więc

yM = c_ly_l(x)+...+c_ny„(x)

W przypadku szczególnym, jednorodnego równania różniczkowego liniowego rzędu n-tego o stałych współczynnikach, układ fundamentalny liniowo niezależnych rozwiązań szczególnych tego równania można wyznaczyć obliczając pierwiastki tzw. równania charakterystycznego postaci

a„r"+a_n__xr"~^l +... +a₀ = 0 a„ # 0

Pierwiastki te można otrzymać z równania różniczkowego, poszukując rozwiązania w postaci y = e^rx.

Dla równania różniczkowego liniowego rzędu drugiego postaci ay" + by’ + c = 0

gdzie a, b, c — stałe rzeczywiste, a A 0 równanie charakterystyczne ma postać

ar² + br+c = 0

Zachodzą tu następujące przypadki:

1.    Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki r_x i r₂ różne rzeczywiste, to układem fundamentalnym są funkcje:

y, = e^r‘\ y₂ = e^r2*

a rozwiązaniem ogólnym funkcja y(x) = c_xe^r'^x+c₂z^riX

2.    Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa równe pierwiastki rzeczywiste r_l = r₂, to fundamentalny układ stanowią funkcje

y_x = e^r>^x i y₂ = xe^r 1x

a rozwiązaniem ogólnym jednorodnego liniowego równania jest funkcja y(x) = (c₁+xc₂)e^r‘^x

3.    Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone postaci a+j/i i a—j/S, to układ fundamentalny stanowią funkcje

y_x = e“cos/Sx i y₂ = e^sin/bc

a rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest funkcja y(x) = e“ [c_t cos flx+c₂ sin /?x]

a(x)y’’ + b(x)y’+c(x)y =f(x)    a(x) * 0

W orzypadku równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rozwiązanie ogólne ' ₀?_na znaleźć za pomocą metody uzmiennienia stałych. Przy rozpatrywaniu równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu drugiego postaci

rozwiązanie ogólne tego równania jest poszukiwane w postaci _y(x) = c_I(x)y₁(x) + c₂(x)y₂(x)

odzie: y,(x) i y₂(x) stanowią układ fundamentalny rozwiązań szczególnych równania jednorodnego, zaś funkcje cJa) i c₂(x) są rozwiązaniami układu równań

dc, , dc₂ ,    /(x)

⁺ ~a—-^{V2 —} TT dx dx a(x)

dc, , dc2    „

~dx^{y, +} ~óx^{yi =} 0

Znalezienie rozwiązań szczególnych liniowo niezależnych dla równania różniczkowego jednorodnego o zmiennych współczynnikach jest niejednokrotnie bardzo trudne. Zagadnienie jednak się upraszcza, gdy współczynniki a, b, c są stałe, co zazwyczaj ma miejsce w zastosowaniach technicznych.

Analogicznymi metodami można znaleźć rozwiązania równań różniczkowych liniowych jednorodnych i niejednorodnych wyższych rzędów (n > 2).

Istnieje wiele metod numerycznych pozwalających na znalezienie przybliżonego rozwiązania równań liniowych i nieliniowych [1.2].

1.2.7. Równania różniczkowe cząstkowe w zagadnieniach elektrotechniki

Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego z niewiadomą funkcją u(x,y)jest równanie postaci

F(x,y,u,p,q,r,s,t) = 0 gdzie:

8u    du    d²u    8²u    d²u

P = T~' 4 = —’ ^r = TT>    ^l=^~i

cx    oy    8x    oxcy    oy

Równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego postaci

.    8²u    8²u    8²u    8u    8u

^A(x,y)-zr-y +2B(x,y)-~— +C(x,y)—_T +d(x,y)— +e(x,y)— +g(x,y)u =

8x    8xdy    8y    cx    cy

—f(x,y) nazywa się liniowym.

Jeżeli dla (x,y)eD,f(x,y) = 0, to równanie jest jednorodnym.

Rozróżnia się trzy typy równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego:

—    hiperboliczny, jeżeli B- AC > 0 dla (x,y)eD;

—    paraboliczny, jeżeli B—AC = 0 dla (x,y)eD;

—    eliptyczny, jeżeli B — AC < 0 dla (x,y)e£>.

W zastosowaniach typy: hiperboliczny i paraboliczny opisują zazwyczaj zjawiska zależne od czasu. Wówczas funkcję u zapisuje się w postaci u(x,t), gdzie x — zmienna bieżąca, t — zmienna czasu. Zagadnieniem granicznym dla równania różniczkowego cząstkowego jest zagadnienie polegające na znalezieniu funkcji u(x,y) pewnej klasy, będącej rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego wewnątrz pewnego obszaru ■ spełniającą na brzegu tego obszaru dodatkowe warunki zwane warunkami granicznymi. warunki graniczne mogą być początkowe i brzegowe. Zagadnienie graniczne, w którym występują jedynie warunki początkowe nazywa się zagadnieniem Cauchy’ego. Zagadnienie takie formułuje się następująco:

dla równania typu parabolicznego w postaci u(x,t)U₀ = ę(x)

3*