79138 stat Page1 resize

Statystyka matematyczna    31

Definicja 3.19. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy

DX — \/U(X - E X)² .    (3.32)

Powyższe definicje możemy uogólnić na przypadek wyższych rzędów.

Definicja 3.20. Momentem zwykłym rzędu r zmiennej losowej X nazywamy E X^r, zaś momentem centralnym rzędu r nazywamy E(X - EX)^r.

W ten sposób wartość oczekiwana jest momentem zwykłym pierwszego rzędu, a wariancja - momentem centralnym drugiego rzędu.

3.4.2 Metoda momentów

Metoda momentów pozwala na konstruowanie estymatorów. Polega na przyrównaniu momentów rozkładu teoretycznego, obliczonych na podstawie wzorów z rozdziału 3.4.1, które zależne są od nieznanego parametru (lub parametrów), do odpowiednich momentów empirycznych, tzn. obliczonych na podstawie obserwacji. Z tak powstałego układu równań wyznaczamy szukane parametry modelu statystycznego.

Najczęściej korzystamy z pierwszego momentu zwykłego (wartości oczekiwanej) i momentów centralnych wyższych rzędów (np. wariancji). Układ równań może mieć wtedy postać

E*X=x_y E*(X-E_$X)² = s² , ... ,    (3.33)

gdzie x i $² są naturalnymi estymatorami wartości oczekiwanej i wariancji, które poznaliśmy przy statystyce opisowej. Po lewej stronie powyższych równości występują zaś odpowiednie momenty obliczone dla rozkładu teoretycznego ustalonego w naszym modelu statystycznym. Równań układamy tyle, ile jest nieznanych parametrów w przestrzeni ©.

Przykład 3.21. Jak pamiętamy, zmienna losowa X pochodzi z rozkładu wykładniczego (co zapisujemy X ~ Exp(A)^, jeśli gęstość fx(-) jest równa

Sx(t) = Ae-*»	(3.34)
dla t > 0 i fx(t) — 0 dla i < 0. Jak widzimy, jeśli nasz model statystyczny jest rodziną rozkładów wykładniczych, to 0 utożsamiamy z parametrem A i otrzymujemy © = (0; oo). Ponieważ dla rozkładu wykładniczego
EX = \,	(3.35)
a z porównania momentów teoretycznych i empirycznych mamy
EX = M,	(3.36)
gdzie
P = “ Xi , ^ni i	(3.37)
zatem z metody momentów otrzymujemy
•	(3.38)