68948 stat PageE resize

Statystyka matematyczna    45

liczbę obserwacji, dla których zmienna X należy do kategorii a symbolem n.j - całkowitą liczbę obserwacji, dla których zmienna Y należy do kategorii yV\ Zatem

r    k

rii, = riij oraz n.j = ny .    (3.106)

j=i    »=i

Niech n oznacza całkowitą liczbę obserwacji. Dla i = 1,2, ...,& i j = l,2,...,r wyznaczamy liczebności teoretyczne według następującego wzoru

K =    ■    (3.107)

Aby zweryfikować hipotezę zerow^rą obliczamy wartość statystyki, oznaczanej po prostu x²> danej formułą

,    * ^r nf,

X* =    T^-n    (3.108)

» równoważnie

(mj - hjj)²

i=lj=l

(3.109)

Następnie porównujemy obliczoną wartość z kwantylem Xi-£r,(/b-i) (r-i)* Hipotezę zerową odrzucamy na poziomie istotności a, jeżeli \² > X*-_a,(k-i) (r-iy W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Jeżeli k = r = 2, statystykę \² można obliczyć posługując się prostszym

(3.110)

n (nnn-22 - ^21 **12)

(nu + ni2) (n2i + n<zi) (nu + n2i) (n_i2 + 7122)

Podstawowymi założeniami dla prawidłowego przeprowadzenia testu jest dostatecznie duża liczba obserwacji (zazwyczaj przyjmuje się n > 100) oraz ny > 5 dla i = 1,2,...,fc i j = 1,2, ...,r.

Test ² zgodności

Podobną procedurę, co zastosowaną we wcześniejszym teście, użyć można także do sprawdzenia zgodności otrzymanych obserwacji z pewnym ustalonym, dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa. Załóżmy mianowicie, że zmienna losowa X posiada jedynie wartości jt¹*,... ,*w, z których każda przyjmowana jest z pewnym ustalonym prawdopodobieństwem    ..., p^. Chcemy dokonać

testu hipotezy zerowej

Ho:p⁽

= *£^l>.....»<*> = »<*>

Po

Po

(3.111)

przy przyjętych przez nas pewnych wartościach Pq ■ ,Pq ■ Przez nj oznaczymy liczbę obserwacji, które mają w^rartość x^\ W celu weryfikacji hipotezy zerowej obliczamy statystykę

(3.112)

(«i - npo *)