113050

Rozkład tej statystyki jest dobrze znanym rozkładem dwumianowym: P₀{T =f} = f V(l —6?)"', gdzie t = 0,1.....n.

Nietrudno sprawdzić, że rozkład warukowy próby pod warunkiem T = t nie zależy od 9

gdy

wp.p.

n

P,(X₁ = x₁,X₂ = x₂,...,X„ = xjr = _t) =

Fakt ten można zinterpretować w następujący sposób: gdy wiemy, że T = t, to informacja

o tym, który z punktów przestrzeni próby faktycznie się zrealizował, nie wnosi żadnej

informacji o parametrze 0. Innymi słowy liczba sukcesów w schemacie Bemoulliego niesie pełną informację o wartości prawdopodobieństwa sukcesu 0 niezależnie od tego w jakiej kolejności te sukcesy się pojawiały. Można zatem powiedzieć, że T jest statystyką dostateczną dla parametru 0.

Definicja. Statystyka T nazywa się statystyką dostateczną dla rodziny rozkładów P (statystyką dostateczną dla 0), jeżeli dla każdej wartości t tej statystyki rozkład warunkowy P{ -| T =f} nie zależy od 0.

Przykład. Jeżeli X_ltX₂,... ,X_n jest próbą losową, to dla każdego zdarzenia losowego A oraz dla każdego punktu (x,,x₂,K ,a^) z przestrzeni próby mamy

P,IU„X₂.....X„)e A\ X, = x„X₂ = x₂.....X_n = xj = I_A(x,,x₂,...,x„).

Ponieważ to prawdopodobieństwo nie zależy od 0, to próba jest zawsze statystyką dostateczną.

Prosty sposób rozpoznawania, czy dana staystyka jest statystyką dostateczną daje następujące kryterium faktoryzacyjne.

Twierdzenie. Statystyka T jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy gęstość rozkładu prawdopodobieństwa próby X,,X₂,K , X„ można przedstawić w postaci f₀(.x_l,x₂,...,^xn) = g_e(T(x_l,x₂,...,^xn))h(x_l>^x2,...,x_n), gdzie funkcja h nie zależy od 0, a funkcja gzależna od 0, zależy od (x_lfx₂,.••»*„) tylko przez wartość statystyki T.

Dowód. (Przypadek rozkładów dyskretnych).

{=>) Przypuśćmy, że statystyka T jest dostateczna. Zatem P₀{X = x\ T = f} = /i(x,f) nie zależy od 0. Ponieważ dla xe T^-,(r) mamy {X =x}cz{T =r}, to

p,lx=x|r = (| = -^p^^x —)■.

*    p,(r=r)

Tym samym otrzymujemy

P,{X=x) = M*,t)P,|T=t}.

czyli dowodzoną faktoryzację.

(<=) Załóżmy, że faktoryzacja jest prawdziwa. Ustalmy x oraz t. Dla x€ET^_l(f) mamy P_tf(X = x | T = f) = 0, co nie zależy od 0. Niech \g T^-,(f). Wtedy