036

36

2. Zmienne losowe

Przykład 2.2.3.

Mamy m liczników cząstek elementarnych, na które padło łącznie n cząstek, przy czym prawdopodobieństwo trafienia każdej cząstki na dowolny z liczników jest takie samo. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że do pewnego licznika trafi dokładnie k cząstek elementarnych, gdzie k = 0,l,2,...,n.

Rozwiązanie.

Niech X będzie liczbą trafień cząstek do pewnego licznika. Każda cząstka wpada do ustalonego licznika z prawdopodobieństwem p = l/m i nie wpada z prawdopodobieństwem q= 1 — 1 /m. Sukcesem jest wpadnięcie cząstki do ustalonego licznika, przy czym k sukcesów na n możliwych zajdzie na (") sposobów, a każdy sposób ma prawdopodobieństwo równe

Zmienna losowa X jest więc liczbą sukcesów dla tych n cząstek, czyli szukaną liczbą cząstek elementarnych, które trafią do ustalonego licznika. Rozkład zmiennej losowej X dany jest więc wzorem

Przykład 2.2.4.

W pewnej grze prawdopodobieństwo wygrania n zł jest proporcjonalne do 1 /n\, n = 0,1,2,____Obliczyć prawdopodobieństwo wygrania co najmniej 3 zł.

Rozwiązanie.

Niech zmienna losowa X oznacza wielkość wygranej. Jej rozkład jest postaci Pr(X = n) =c/n\, gdzie c > 0. Stałą c wyznacza się z równania:

czyli

1

skąd c = e ¹.

Prawdopodobieństwo wygrania co najmniej 3 zł wynosi

Pr(X Ss 3) = 1 -Pr(X < 3) = 1 - (Pr(X = 0) +Pr(X = 1) + Pr(X = 2))

« 0.0803014.