80 (68)

Rozkład zmiennej losowej Y typu skokowego tworzy się po obliczeniu wartości zmiennej Y na podstawie funkcji Y ~cp(X), natomiast prawdopodobieństwa pozostają bez zmian, tzn.

	l-h	^x2 i	••• j ^Xn	Y^P(X) y s >'i ! y2 [ ••• i yn
Px	i P\	P2 i	••• 1 Pa	" Py ~ ^px 1 P\ ! Pl i 1 Pa

Rozkład zmiennej losowej Y typu ciągłego można opisać następującą funkcją gęstości (przy założeniu, że <p ma różniczko walną funkcję odwrotną ty, tj. y = (p(x)    => x = y(y))

<?(>•)= (2.6)

gdzie:

g - funkcja gęstości nowej zmiennej Y, f— funkcja gęstości zmiennej X Kompozycja rozkładów prawdopodobieństw

Jest to rozkład prawdopodobieństwa sumy niezależnych zmiennych losowych. Niech np. X i Y są zmiennymi skokowymi o następujących rozkładach prawdopodobieństw:

X i X,	^X2	...	** y	>’!	>'2		y„,
^PX j Px\	Px7	l;		Py\	Py2		Py

Wówczas rozkład prawdopodobieństwa (kompozycja) zmiennej losowej Z~X + Y ^ma postać (* symbol kompozycji)

X	j *1 | *2 |	... j .V„	, ^y 1	y) ] yi I	y,n
Px	! Px! ! P.X2 I	-• 1 Pxn	Py |	Py] i Pyt i	Pym
Z 1 x{ + y,	^xl ^+ >’2 J • • •	| *1 ^+ y,n	| ■^v2 ^+ >’l	\ -^x2 ^+ yi \ ■■■	^x2 ^+yfn ■ • • |
^PZ ! Px, Py,	Px\Py2 1-	1 P*Pym	1 Px2 Py,	i Px2Py2 ! -	Px2Pym •••!

... xn +>>|	i xa+y2 j •••	+ym
- PxnPy,	1 Pxn Py2 !•••	^Pxn Pym

Natomiast jeśli X i Y są zmiennymi losowymi ciągłymi, to funkcję gęstości sumy można wyznaczyć, korzystając ze wzoru

f_z(z)~ j f_x(x)fy(z~x)dx~ j f_x(z~ y)f_y(y)dy    ^.7)

Podobnie określa się kompozycję n zmiennych losowych.

2.1.2. Niektóre rozkłady zmiennych losowych

Rozkład zero-jedynkowy (0-1)

Przyjmijmy, że zmienna losowa może przybierać tylko dwie wartości .v,, x-, z prawdopodobieństwami P(X - x_{) ~ cp P(X = .v₂) ~ p

£J		*2
Pi!	ą I	rr

(q+ p =1)

Taki rozkład jest nazywany rozkładem dwupunktowym (zmienna ma rozkład jednopunktowy, jeśli istnieje taki punkt „t₀, że P(X = ,v₀) = 1).

Przyjmując „Vj G, x₂ = 1, uzyskuje się rozkład

X { ° j 1 Pi j ą i p

nazywany rozkładem zero-jedynkowym (0—1).

Rozkład dwumianowy

Jeśli zmienne X_i mają jednakowe rozkłady (01), to zmienna losowa Y_n Yin) =X_l+X₂ + ...+X_a

ma rozkład dwumianowy. Rozkład ten, stanowiący kompozycję rozkładów zero-jedynkowych, jest określony wzorem (Bernoulliego)

P(Y(_n) — k) — rfⁿ~^k    & ~ 0» 1.....«    (2.8)

gdzie

(«-*)!*!

to

X±

Pi

^r(2)

^+*2	oraz
! o 1	i
! <! \	P '
^X2 |	0 | i
pi !	<i ! p

X ₂ | 0 ] 1

P i r <■/1 p

^(2)	0	i ^1 !	I | 2
Pi	O (f	<ip !	P<! i P^2
^Y(2)	0	i	i 2
Pi	n <r	V/	{ *> i p~

81