DSCF6536

3. WYBRANE ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ

3.1. Rozkłady zmiennej skokowej 3.1.1. Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy (nazywany także rozkładem Bernoulliego) jest rozkładem zależnym od dwóch parametrów, n i p:

Kr.* = ||M ~Pr~^k I ("W^-*    (3.1)

gdzie q = (l-p).

Wartość oczekiwana:

E[k] | np    (3.2)

Wariancja:

V[k] = np(l —p) = npq    (3.3) j

Rozkład dwumianowy opisuje prawdopodobieństwo zajścia k zdarzeń pomyślnych (sukcesów) w n próbach, gdy prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest stałe i równe p. Rozkład dwumianowy odnosi się więc do doświadczeń dających dwa różne rezultaty. Jeśli przypisać wynikowi zmienną losową X, przyjmującą z prawdopodobieństwem p wartość x = 1 oraz z prawdopodobieństwem q = 1 - p wartość x = 0 (taki rozkład zmiennej losowej nazywa się dwupunktowym), wówczas wynikiem n-krotnego powtórzenia elementarnego doświadczenia jest k sukcesów, przy czym k = £ x,.

Sukcesem może być np. zdarzenie A odpowiadające trafieniu rezultatu pomiaru do i-tego przedziału histogramu. Zdarzeniem przeciwnym jest wówczas trafienie do dowolnego innego przedziału. Prawdopodobieństwo trafienia k przypadków do i-tego przedziału, oczekiwaną liczbę przypadków w przedziale oraz wariancję liczebności przedziału oblicza się, korzystając z własności rozkładu dwumianowego.

3.1.2. Rozkład Poissona

Rozkład Poissona opisuje prawdopodobieństwo zajścia k niezależnych zdarzeń wówczas, gdy oczekiwana liczba zdarzeń równa jest pi

	*: II i	(3.4)
Wartość oczekiwana:
	E[k] = n	(3.5)
Wariancja:
	mm	(3.6)

Ponieważ rozkład Poissona jest rozkładem jednoparametrowym, odchylenie standardowe charakteryzujące szerokość rozkładu, zależy jedynie od wartości średniej: a = <M\U\ =l*Fu. Wobec tego względna niepewność w znajomości wartości średniej wyniesie: 5/i = - = -4=- Oznacza to na przykład, że

# m

przy określaniu wieku szczątków organicznych metodą zliczania rozpadów izotopu ¹⁴C (wielkość taką opisuje rozkład Poissona), „statystyczna” niepewność w znajomości rzeczywistej liczby rozpadów przy 10 000 zliczeń wynosi 1%.

3.2. Rozkłady zmiennej ciągłej 3.2.1. Rozkład normalny

Rozkład normalny (rozkład Gaussa) jest najważniejszym rozkładem w statystyce. Jest to rozkład dwuparametrowy; parametr p określa położenie rozkładu na osi x, a parametr a² (lub a) jego szerokość:

II i ■ H i -7=^e    (3.7)

Oy/2lt

Wartość oczekiwana:

-EM = fi (3.8)