224 (75)

/.(>•)=

m, = ]T x[ p_k dla zmiennej losowej skokowej, m,= f x^tf(x)dx dla zmiennej losowej ciągłej.

izlcW*^u

\___li'' exp(—j

np/*) J

Otrzymujemy

My)=f(\^/y)—~r+f(-Jy}—r=-7=y"^łexp(-|y), 0<x<

2 vy    2\f y yJ2n dla — oo<)r<0,

-r=-y “^ł exp ( — |y) dla 0<v<oo. \2n

§ 6.5. Określenia momentów

Zmienna losowa jest zasadniczo wystarczająco dokładnie opisana przez jej _r02L prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia IBS terystyk liczbowych rozkładu, ponieważ są to opisy krótkie i umożliwiające szyblucpo^'"' nanie rozkładów ze sobą. Poniżej zajmiemy się omówieniem tych charaktery$ty|jK

Definicja6.5.1. Momentem rzędu I (/=!, 2, ...) względem liczby c zmiennej losowej \ nazywamy:

w przypadku zmiennej losowej skokowej, 1

J (x — c)^tf(x)dx w przypadku zmiennej losowej ciągłej, J

jeśli szereg lub całka są bezwzględnie zbieżne, przy czym: p_k jest prawdopodobieństw przyjęcia przez zmienną losową X wartości x_k, natomiast f{x) jest gęstością prawdopodobieństwa.

Jeżeli zmienna losowa A" jest typu skokowego o skończonej liczbie punktów skokowy^ lub jest typu ciągłego o gęstości ograniczonej i większej od zera na przedziale skończonym <fl, b}, to warunek bezwzględnej zbieżności odpada, gdyż mamy do czynienia w pierwszym przypadku ze zwykłą sumą, a w drugim — z całką oznaczoną.

Z definicji wynika, że moment zależy tylko od rozkładu. Jeżeli X_k i X₂ są dwie nu zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, to momenty tych zmiennych są równe Z tego powodu można mówić o momentach rozkładu zamiast o momentach zmienw losowej. Może się zdarzyć, że rozkład momentów nie posiada.

Definicja 6.5.2. Jeżeli c = 0, to moment nazywamy zwykłym i oznaczamy pr²*² czyli

(6.5.1) 16.5.2)

Przykład 6.5.1. Znaleźć moment zwykły m,w przypadku uogólnionego gamma danego wzorem (6.3.12).

_zwi3^{zu 11IC}’ ^Korz>^sta-i^a-^{c z} definicji 6.5.2 otrzymujemy

'"'⁼7Tr/«i J^x

Istawicnie    otrzymujemy

jefl' ('^u’^wczas P^>®- bowiem yp>Oj, to istnieją wszystkie momenty zwykle | jeżeli natomiast »<0 (/:<()), to istnieją momenty rzędu 1=0.....[—/>]

■Pcałkowita x).

^Bijzczceilnych przypadkach otrzymujemy

^KnzkkiJ gamma: m,= Yf\jpj ’

„    r('(/+3)) 2r('(/+3>)

lr^{,ad Maxwella:} ”"-Trm ■ —,ir- ■

cład Weibulła: w, = /“^,/p    - +1^,

,ad Rayleigha:

.....    6.5.3. Moment zwykły rzędu pierwszego nazywamy wartością przeciętną^¹)

i oznacza n symbolem E{X), tj.

^•5-3)    E{X)=Y.^xkPk dla zmiennej losowej skokowej,

i    E(X)= J xf(x)dx dla zmiennej losowej ciągłej.

B. y szczególności, jeśli zmienna losowa skokowa X przyjmuje wyłącznic wartości całkowite x_k    to

^(Ł5-^3a»    £(X) = X^A-

Lf^VKuo 6.5.2. Zmienna losowa X podlega rozkładowi P(X=x_k)=p_k, k = 1,2,..., ^pneft*2-3^ł oraz *, = ( —l)*3*/k. Zbadać istnienie momentu rzędu pierwszego.

^ ^0Zu'iązanic. Zgodnie z definicją 6.5.3 należy obliczyć sumę iloczynów wartości H losowej przez odpowiadające im prawdopodobieństwa:

» .___ f.x_Lp_k=2- X( —— —2ln2.

są również terminy: wartość oczekiwana, nadzieja matematyczna; £ — jest pierwszą

I*¹*)    ^a ..cspćrance” - nad/icja. Dla oznaczenia wartości pizeciętncj używa się również symbolu

B* *^dz:c M jest pierwszą literą słowa ,,mcan” — średnia.