0498

500

XIII. Całki niewłaściwe

Przyjmijmy (dla uproszczenia), że takie punkty są trzy, przy czym dwa spośród nich są końcami przedziału <a, b), a trzeci leży pomiędzy nimi. Całki w przedziale od a do b określimy wtedy wzorem

(3)

lim

łi-0

c-m

{/

fl+lfl

Biorąc wewnątrz każdego z przedziałów <a, c> i <c, ó> odpowiednio punkty d i e otrzymujemy

c-m i c-m h-m • t-m

/-/+/• /- /⁺ /•

fl+ifi    <1    c+ifj c+ifa    e

Łatwo zauważyć, że istnienie granicy (3) jest równoważne z istnieniem granic każdej z tych czterech całek z osobna, a więc definicję (3) można zastąpić taką:

ff(x)dx = ff(x)dx+ Jf (x) dx + jf (x) dx + Jf(x)dx,

a    a    d    c    e

przy założeniu, że wszystkie całki niewłaściwe po prawej stronie istnieją (¹). Definicja ta nie zależy od wyboru punktów d i e.

Dla całek niewłaściwych (2) i (3) zachowujemy poprzednią terminologię.

Przykłady

O

2)    (    ■    , punkt osobliwy — 1.

o    o

f    = lim f ■ ***    ■ — lim 1—arc sin (— l+n'VI = —7T.

^1—x² i'-o y 1—x² ł'-o    ²

+i

³⁾ /

dx

i/r^-’

dwa punkty osobliwe —lii.

1    Ol

4) Zbadajmy dla jakich wartości wykładnika A>0 całka niewłaściwa

b

(4)

/

dx

(x-af

(b > a)

jest zbieżna. ^{1 2}

1

Z wyjątkiem przypadku, gdy dwie spośród tych całek są równe nieskończoności o różnych

2

smakach.