0514

516

XIII. Całki niewłaściwe

możemy otrzymać poprzedni wzór przechodząc do granicy dla x₀ -* b zarówno w przypadku, gdy wszystkie całki w granicach od a do i są niewłaściwe, jak również w przypadku, gdy jedna z nich jest właściwa.

5° Jeżeli dla funkcjif (x) ig (x) całkowalnych w (a, bj zachodzi nierówność f(x) < 0 (x)> to dla a < b jest

b    b

jf(x)dx < Jg(x)dx.

d    a

6° Jeżeli funkcja f(x) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale <a, ó>, to (1dla a < b)

| J/(x)dx| J |/(x)| dx.

a    a

7° Jeżeli funkcja f (x) jest całkowalna w <a, b} to dla dowolnego x zawartego w tym przedziale istnieje całka

(1)    0(x) = jf(t)dt

a

i jest funkcją ciągłą zmiennej x.

Załóżmy, że a < x₀ ^b. Udowodnimy na przykład lewostronną ciągłość funkcji 0 (x) w punkcie x₀. Biorąc c zawarte pomiędzy a i x₀ w ten sposób, żeby przedział <c, x₀> nie zawierał innych punktów osobliwych oprócz być może x₀, mamy dla c < x < x₀

(2)    jf(t)dt = jnt)dt+ ff(t)dt.

a    a    c

Wystarczy więc wykazać, że

lim [ f(tydt = f /(O dt.

X—Ao-0 ^J    J

c    c

Ta równość zachodzi [patrz uwaga z ustępu 479] zarówno w przypadku, gdy całka po prawej stronie jest właściwa jak również w przypadku, gdy jest niewłaściwa.

Jeżeli x₀ = b = + 00, to ciągłość funkcji 0 (x) dla x = +00 rozumiemy w tym sensie, że

♦ GO

lim 0(x) = 0 ( + 00) = f f(t)dt.

X-+00    J

a

8° Przy tych samych założeniach, jeżeli funkcja f{x) jest ciągła w punkcie x = x₀, to istnieje w tym punkcie pochodna funkcji 0 (x) [patrz (1)] i

0'(x_o)=/(*o).

Przy dowodzie korzystamy z (2) i powołujemy się na analogiczną własność całki właściwej.

Własności 7° i 8° dają się łatwo zmodyfikować dla przypadku, gdy zmienna jest dolna granica całki.