0504

506

XIII. Całki niewłaściwe

Jeżeli funkcja f(x) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale (a, by, a funkcja g (x) jest całkowalna w <o, bj w sensie właściwym, to funkcja f(x)g(x) jest też bezwzględnie całkowalna w tym przedziale.

Związek z szeregami nieskończonymi ustala twierdzenie:

b

Na to, by całka niewłaściwa J f(x) dx (gdzie b jest punktem osobliwym) była zbieżna,

a

potrzeba i wystarcza, żeby dla dowolnego ciągu a_n~+b szereg

00    «,+i

J f(x) dx (a₀ = a, a < a* < b)

u—O a_m

był zbieżny do tej samej sumy. Ta suma jest właśnie wartością całki niewłaściwej.

Podamy teraz przykład całki zbieżnej, lecz nie bezwzględnie zbieżnej. Weźmy dla 0<x<2 funkcję

/(•*) = 2jc sin    cos .

x^x x    x²

Funkcja ta jest ciągła dla x>0, a jedynym jej punktem osobliwym w przedziale <0. 2> jest O. Funkcją pierwotną funkcji /(x) jest, jak łatwo sprawdzić, funkcja

F(*) = *²sin-^, r

która ma dla x O granicę F(H-0) = 0. Całka

= 2|/2

f/(x)dx = o

z¹ • sin Jł— x² o

jest więc zbieżna.

2

Na to, by stwierdzić, że całka J |/(x)| dx jest rozbieżna, przedstawimy ją w postaci szeregu. Weźmy

O

ciąg {<>•} dążący do 0, określony wzorami

Oo = 2,    <J₂»

, a_lk = -±— (k — 1, 2, 3, ...) .

]/k

Wówczas

00

z /

N—l

•m

00

\f(x)\ dx>'£ j \f{x)\ dx.

»-i •„

W przedziale <a₂₂,    tzn. dla far> >kn— ~, sin i cos mają znaki przeciwne, więc

X    Z    X    X

funkcja zachowuje znak. Dlatego

/ ‘ \f(x)\dx = | / ^lf(x)dx| =    > i-.

<U    «2k

* j

Wobec rozbieżności szeregu harmonicznego £ — rozpatrywany szereg jest też rozbieżny, a wraz z nim

i *

jest rozbieżna nasza całka.