0516

518

XIII. Całki niewłaściwe

A

Funkcja Jg (x) dx zmiennej A, ciągła w przedziale (a, +oo> ma granice skończone

m

a

i M, więc [patrz (3)]:

A

mf¹(a) < J f¹(x) g (x) dx <

i gdy A -¹ + oo, mamy

+00

mf¹(a) < J f¹(x) g (x) dx < Mf¹(a) .

Stąd

+00

(4)    J f¹(x) g (x) dx = nf¹(a), m < /i < M .

a

Lecz funkcja ciągła J5 (x) dx osiąga swoje kresy m, M i przyjmuje dowolną wartość za-

a

wartą między nimi, tzn. n = fg (x) dx, gdzie a < £, < +00.

a

Przyjmując w (4) f¹(x) =f(x)—f(+00) i podstawiając uzyskane przed chwilą wyrażenie na g, otrzymamy dowodzony właśnie wzór.

488. Całkowanie przez części w przypadku całek niewłaściwych. Niech funkcje u — = u(x) i v = v(x) będą określone i ciągłe wraz ze swoimi pierwszymi pochodnymi w każdym punkcie przedziału <a, b} z wyjątkiem punktu b (który może być także równy +00). Wówczas zachodzi równość

b    b

judo = lltfla— j vdu ,

a    a

jeżeli przez symbol uv \^ba rozumiemy różnicę

lim u (x) v (x)—u (a) o (a).

x-¹b

Zakładamy przy tym, że spośród trzech występujących w równości wyrażeń (dwie całki i podstawienie granic całkowania) mają sens dwa. Stąd już wynika istnienie trzeciego.

I rzeczywiście, biorąc a < x₀ < b napiszemy zwykły wzór na całkowanie przez części w przedziale <a, x₀>

»0 ¹0 J udo = [u (x₀) v (x₀) - u (a) o (a)] - J o du ,

a    a

gdzie wszystkie całki są właściwe. Niech teraz w równości tej x₀ dąży do b. Z założenia dwa spośród występujących w niej wyrażeń mają granicę skończoną dla x -¹• x₀ O- Wynika stąd, że trzecie wyrażenie także ma granicę skończoną i prawdziwość dowodzonej równości stwierdzamy przez przejście do granicy.

1

Zobacz uwagę z 477.