0480

482

XIII. Całki niewłaściwe

(według prawa Newtona). Jaką pracę A wykona siła Fprzy przesunięciu punktu M wzdłuż osi x z punktu x = r do nieskończoności?

Praca będzie oczywiście ujemna, ponieważ siła jest skierowana w przeciwną stronę niż ruch. Stosując do tego przypadku wzór (9) z ustępu 353, otrzymujemy

m

r

Odwrotnie, przy przesunięciu punktu Mz nieskończoności do punktu x = r, newtonowska siła przyciągania wykona pracę dodatnią m/r. Wielkość tę nazywamy potencjałem rozpatrywanej siły w punkcie M i jest ona miarą nagromadzonej w punkcie energii potencjalnej.

8) Mieliśmy wzór [354 (10)]:

A = / pdV

•'i

na pracę wykonaną przez gaz przy jego rozszerzaniu się od objętości V_t do objętości V₂ (V₂ > Vi).

Dana jest pewna masa gazu idealnego zajmującego objętość V_t pod ciśnieniem p_t. Przypuśćmy, że gaz ten rozszerza się do nieskończoności adiabatycznie, tzn. bez wymiany ciepła z otoczeniem. Jak wiemy [361, 3)], w tych warunkach zachodzi wzór Poissona

pV^k = c (gdzie k — ■£*- > 1) .

c

Zatem praca, którą może wykonać gaz przy takim rozszerzaniu się, wynosi

= f cV~^kdV = —

J    1-

v^k-

c _#    1

k-l    yf-1 '

Biorąc pod uwagę, icc = p_L V_x^k i podstawiając to do otrzymanego wzoru, mamy ostatecznie

A

mii

£iH.

k-l

9) W zadaniu 8) z ustępu 356 otrzymaliśmy siłę F, z którą działa na jednostkę ładunku magnetycznego prąd płynący przez skończony prostoliniowy odcinek przewodnika:

ds .

f-—-

J (a²+s²)³¹²

Rozpatrzmy teraz przypadek, kiedy przewodnik jest nieskończony w obie strony, tzn. przyjmijmy j, = — oo, Si = +oo. Wtedy

= f -

J (a²

al___

+s²y-

■ds =

a ]/a²+s²

⁺“₌ 21 a

Oczywiście, przewodnik nieskończony jest fikcją, lecz tym niemniej otrzymany wynik może się okazać pożyteczny: w przypadku bardzo długiego przewodnika wygodniej będzie rozpatrywać go w przybliżeniu jako nieskończony, gdyż uzyskujemy w ten sposób znaczne uproszczenie wzoru.

10) Gdy w obwodzie elektrycznym z samoindukcją wyłączymy prąd /₀ w momencie / = 0, to powstanie w nim prąd dodatkowy podlegający prawu