0480

0480



482


XIII. Całki niewłaściwe

(według prawa Newtona). Jaką pracę A wykona siła Fprzy przesunięciu punktu M wzdłuż osi x z punktu x = r do nieskończoności?

Praca będzie oczywiście ujemna, ponieważ siła jest skierowana w przeciwną stronę niż ruch. Stosując do tego przypadku wzór (9) z ustępu 353, otrzymujemy

m

r

Odwrotnie, przy przesunięciu punktu Mz nieskończoności do punktu x = r, newtonowska siła przyciągania wykona pracę dodatnią m/r. Wielkość tę nazywamy potencjałem rozpatrywanej siły w punkcie M i jest ona miarą nagromadzonej w punkcie energii potencjalnej.

8) Mieliśmy wzór [354 (10)]:

A = / pdV

•'i

na pracę wykonaną przez gaz przy jego rozszerzaniu się od objętości Vt do objętości V2 (V2 > Vi).

Dana jest pewna masa gazu idealnego zajmującego objętość Vt pod ciśnieniem pt. Przypuśćmy, że gaz ten rozszerza się do nieskończoności adiabatycznie, tzn. bez wymiany ciepła z otoczeniem. Jak wiemy [361, 3)], w tych warunkach zachodzi wzór Poissona

pVk = c (gdzie k — ■£*- > 1) .

c

Zatem praca, którą może wykonać gaz przy takim rozszerzaniu się, wynosi

= f cV~kdV = —

J    1-


vk-


c #    1

k-l    yf-1 '


Biorąc pod uwagę, icc = pL Vxk i podstawiając to do otrzymanego wzoru, mamy ostatecznie

A


mii


£iH.

k-l


9) W zadaniu 8) z ustępu 356 otrzymaliśmy siłę F, z którą działa na jednostkę ładunku magnetycznego prąd płynący przez skończony prostoliniowy odcinek przewodnika:

ds .


f-—-

J (a2+s2)312

Rozpatrzmy teraz przypadek, kiedy przewodnik jest nieskończony w obie strony, tzn. przyjmijmy j, = — oo, Si = +oo. Wtedy

= f -

J (a2


al___

+s2y-


■ds =


a ]/a2+s2


+= 21 a


Oczywiście, przewodnik nieskończony jest fikcją, lecz tym niemniej otrzymany wynik może się okazać pożyteczny: w przypadku bardzo długiego przewodnika wygodniej będzie rozpatrywać go w przybliżeniu jako nieskończony, gdyż uzyskujemy w ten sposób znaczne uproszczenie wzoru.

10) Gdy w obwodzie elektrycznym z samoindukcją wyłączymy prąd /0 w momencie / = 0, to powstanie w nim prąd dodatkowy podlegający prawu


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
W,P,E, zas zach E 1 1. Praca, moc, energia, zasada zachowania energii mechanicznej Jaką pracę wyko
ScanImage003 (15) 1.    Jaką pracę wykona siła F = 5 N wykonując pracę po torze 
480 XIII. Całki niewłaściwe Przykłady: o    o 3) f    = lim [ ,dx , —
484 XIII. Całki niewłaściwe 1° Jeżeli całka ff(x) dx jest zbieżna, to zbieżna jest także całka f f{x
486 XIII. Całki niewłaściwe 475. Zbieżność całki w przypadku ogólnym. Zagadnienie zbieżności
488 XIII. Całki niewłaściwe gdzie A < f < A . Z uwagi na założenie (1) możemy dla dowolnego us
490 XIII. Całki niewłaściwe Jeśli drugi wzór napiszemy w postaci ci1 2 = _ JSSLLa-J S2LLdl, l
494 XIII. Całki niewłaściwe (b) g(x) = -i- monofonicznie maleje i dąży do zera, gdy x -*• oo. f(x) =
496 XIII. Całki niewłaściwe 9) Zbadać całkę f .Ś2* dx j; x**+sinx w zależności od wartości
498 XIII. Całki niewłaściwe 12) Zbadać wszystkie możliwe przypadki zbieżności i rozbieżności
500 XIII. Całki niewłaściwe Przyjmijmy (dla uproszczenia), że takie punkty są trzy, przy czym dwa
502 XIII. Całki niewłaściwe Rzeczywiście, przypuśćmy, że takiego punktu nie ma. Dla każdego punktu x
504 XIII. Całki niewłaściwe /dx -,    ■■■    -. Punkt
506 XIII. Całki niewłaściweJeżeli funkcja f(x) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale (a, by, a f
508 XIII. Całki niewłaściwe (c) Punkt osobliwy x = 0. Dla 0<A<1 mamy iŁ5HL2L . /-JL-N1 sin** I
SIO XIII. Całki niewłaściwe 484. Wartości główne całek niewłaściwych. Przypuśćmy, że w

więcej podobnych podstron