0494

496

XIII. Całki niewłaściwe

9) Zbadać całkę

f .Ś2* dx j; x**+sinx

w zależności od wartości parametru ft> 0. Zachodzi tożsamość

sin x jr^+sin x

sin x__sin^łx

x* jt^ot^+sin jc)

Całka z pierwszego wyrazu po prawej stronie

f ńnx__dx

J

0 ■*

jest, jak wiemy z 476, zawsze zbieżna. Przejdźmy do całki z wyrazu drugiego

(11)

f —212^-dx.

g x^M(x'^,+sinx)

Ponieważ

sin².v    sin²x _<    1

jc^+I) V(*^+sinx) x"(x'^,-l)

więc dla p > ~ całka z wyrażenia po prawej stronie, a wraz z nią całka (11) są zbieżne. Rozpatrzymy dla H < y wyrażenie po lewej stronie. Całka z tego wyrażenia — z uwagi na 7) — zachowuje się tak jak całka

i ^+d

(a > 0),

tzn. jest rozbieżna, a wraz z nią rozbieżna jest także całka (11).

Ostatecznie więc dana całka jest zbieżna dla p > -j i rozbieżna dla p < -i .

Pouczające jest porównanie tego przykładu w przypadku /« < y z kryterium zbieżności Dirichleta. Całka z pierwszego czynnika sin x jest ograniczona, podczas gdy drugi czynnik

1

jc^+sin x

dąży do 0, gdy x oo. Nie jest spełnione tylko żądanie monotoniczności tego czynnika, a całka już jest rozbieżna!

10) Zbadać całkę

/

x“dx

l+^sin²*

w zależności od wartości parametrów a, fi>0.

Funkcję podcałkową oznaczmy przez /(jc). Gdy x zmienia się od tm do («+1) a, mamy

("*>• _<m < tfe+łlsŁ-.

l+[0»+l)wl^sin²x    l+(mr)^łsin²x