0528

i

i

530

XIII. Całki niewłaściwe

Przykłady

1) Obliczmy całkę J ln x dx (z punktem osobliwym 0). Mamy

1    II    H »

f lnxdx — lim — ^ln— = lim ln ' ⁿ' .

J    N-.40 n Ł-i n    n

Vnl    1

Ponieważ [77, 4)] lim ——— = —, powyższa granica równa się —1. Jest to rzeczywiście wartość szukanej

ti-oo ^{n    e}

całki.

*/2

2) Jako drugi przykład rozpatrzymy bardziej skomplikowaną całkę J ln sin x dx. Mamy tu

o

n/2    »-i    •>—a

f ln sin x dx = lim    V ln sin-^- = lim — ln J~J sin —.

J    2n /—i    2n    „__n 2« I I 2n

O    V-1    »-l

Chcąc otrzymać prostsze wyrażenie na to ostatnie rozwinięcie rozpatrzmy wielomian, otrzymana przez podzielenie z^ln — 1 przez z²—1 i rozłóżmy go na czynniki liniowe, łącząc razem czynniki odpowiada* jące pierwiastkom sprzężonym. Otrzymujemy (dla dowolnego rzeczywistego z różnego od ±1):

v-l

Gdy z -*• 1, otrzymujemy

" - fi    v] - *- /7“’ fr

v-t    v-i

a więc ostatecznie

rTsin-!2_=-£L.

ii    2u    2-¹

Dlatego też

. j ,. 7t j Inn—(n—l)ln2    ir , «

I In sin x dx = lim — • ^Ł ......-    — =--ln 2

Q    R—*00 2    /1    2

[porównaj 492, 1°].

494. Całki w przedziale nieskończonym. Załóżmy, że funkcja jest określona i całkowalna w przedziale od 0 do + oo. Dzieląc ten przedział na nieskończenie wiele równych

00

przedziałów o długości h > 0 utwórzmy sumę £/(vA)-A, której postać przypomina sumę

v*=0

+00

Riemanna. Czy szereg ten jest zbieżny ? Czy jego suma dąży do całki niewłaściwej // (.*) dx,

o

gdy h -* 0? Oto pytania, na które postaramy się odpowiedzieć przy pewnych szczególnych założeniach o funkcji /(x).

Załóżmy najpierw, że/(jc) jest dodatnia, maleje monotonicznie i dąży do 0, gdy x~* + co. Wtedy

00    00 (v+l)h    00

//(*) dx = ^ / f(x) dx <h- ^Tf(vh),

0    v=*0 vh    v=*0

O Patrz notka na str. 105.