0496

498

XIII. Całki niewłaściwe

12) Zbadać wszystkie możliwe przypadki zbieżności i rozbieżności całki

oo

dx

/

l+x“ •|sinx|*

w zależności od wartości parametrów a i /? (a, /?>0). (a) Niech ot < 1. Ponieważ

1

1

1+jc“* |sin'jc|^p 1+**

więc w tym przypadku całka jest rozbieżna [474].

(b) Niech będzie ot < fi. Przechodząc do szeregu [477], mamy przy tym założeniu

Dla 0 <z<

CO

z/

Ol

1

(»+1)jc

dx

dz

..o »n l+^-lsin*!*    ^^J0 l+(mr+r)“sin"z _n_₀₀

jest jednak

(mr+z)*sin^r <    < (n+l)V (-—) = 1,

\ (ⁿ+l) tt /

więc wyrazy tego ostatniego szeregu są większe niż odpowiednie wyrazy szeregu rozbieżnego

oo

—y—•

2tz ti + 1 o

Całka jest w tym przypadku rozbieżna*

(c) Niech będzie <x>p>l. Przedstawmy I w postaci sumy h+h₉ gdzie

/,=vf—/,-yr

dz

oo Jt/2

«-o o l+(mr+r)*sin*z    o l+(mr-z)*sin*z

Dalej, dla 0<r<7t/2 i n > 1, jest

(mr+r)*sin^z > (mc)* z^ = /i“c^z^, gdzie c — 2n^    ,

skąd

TC/2    */2    2

f-*-< f —*---L_ f -

i l+(mr+z)*sin*z { l+rfctz* n^m9-c i 1

l+Cmr+z^sin^z ~ 1 +

OO

gdzie c* = — f ———. Tak więc ^c ' 1 + t*

dt c*

_+//»    „«/f ’

oo

h <—■ +C*

• < oo.

y—

Z_) „*if

Analogicznie także /₂< oo, a więc całka jest zbieżna.

(d) Zamiast przypadku <x>(S> 1 można rozpatrywać przypadek ogólny, gdy jednocześnie ot> 1 iot>fi. Rzeczywiście, łatwo jest w tym przypadku znaleźć takie fi' > fi, żeby było a>/3'>l. Ponieważ przy zmniejszeniu fi zbieżność się tylko wzmacnia, więc i w tym ogólnym przypadku mamy zbieżność.

Reasumując całe rozumowanie widzimy, że całka / jest zbieżna tylko wtedy, gdy jednocześnie są spełnione nierówności a>l i ot>fi, a jest rozbieżna w każdym innym przypadku. Można powiedzieć krócej: gdy a>max (1, fi) to całka jest zbieżna, jest zaś rozbieżna, gdy ot < max (1, fi).