0484

486

XIII. Całki niewłaściwe

475. Zbieżność całki w przypadku ogólnym. Zagadnienie zbieżności całki niewła-

CO

ściwej / /(x) dx sprowadza się zgodnie z definicją (1) do zagadnienia istnienia granicy

a

skończonej funkcji zmiennej A

(4)    0(A) = ff(x)dx

a

dla A -¹ oo.

Stosując do tej funkcji kryterium Bolzano-Cauchy’ego [58] możemy warunek istnienia całki niewłaściwej przedstawić w następującej postaci:

+<30

Na to, żeby całka niewłaściwa j f (x) dx (¹) była zbieżna, potrzeba i wystarcza, żeby

a

do każdej liczby e > 0 można było dobrać taką liczbę A₀ > a, żeby dla A > A₀ i A' > A₀ zachodziła nierówność

\0{A')-0(A)\ = | J f(x)dx- j f(x) dx\ = | Jf(x) dx | < 6.

aa    A

Kryterium to pozwala z łatwością otrzymać następujące twierdzenie:

CO    CO

Jeżeli całka j |/(x)| dx jest zbieżna (²), to tym bardziej jest zbieżna całka J / (jc) dx.

a    oo    a

Rzeczywiście, stosując powyższe kryterium do całki f\f(x)\dx, o której zakładamy,

a

że jest zbieżna, widzimy, że dla dowolnego e > 0 można dobrać takie A₀ > a, że

A'

f 1/0)1 dx <

e,

A'    A'

jeżeli tylko A’ > A > A₀. Ale jest oczywiście | J' /(^) dx\< J |/0)! dx, więc dla tych

A    A

samych A i A' tym bardziej zachodzi nierówność

| f /O) dx | < e,

A

00

skąd zgodnie z naszym kryterium wynika już zbieżność całki J f{x) dx.

a

Zauważmy, że ze zbieżności tej ostatniej całki bynajmniej nie wynika zbieżność całki

00

/1/0)1 dx. Pozwala to na wyróżnienie następującego, szczególnego przypadku. Jeżeli

a    oo    co    oo

wraz z całką J / (x) dx jest zbieżna całka J \f 0)1 dx, to całkę ff(x)dx nazywamy bez-

a    aa

względnie zbieżną, a funkcję/(jc) bezwzględnie całkowalną w przedziale (ja, + oo>. Przykład całki zbieżnej nie bezwzględnie podamy w następnym ustępie.

1

Przy założeniu, że funkcja f(x) jest w każdym przedziale <a, A}, A> a, całkowalna (w zwykłym sensie).

(²) Patrz poprzedni odsyłacz.