0540

542

XIII. Całki niewłaściwe

4) Uogólnić twierdzenie udowodnione w 478, 6) na przypadek, gdy funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale <a, a+ a»> w sensie właściwym (z zachowaniem pozostałych założeń).

Korzystając z tego wykazać, zakładając, że g (jc) dąży monotonicznie do 0, gdy x -*• oo, że całka

J In |sin x\ ■ g (jc) dx o

jest zbieżna lub rozbieżna równocześnie z całką

j g (x) dx,

O

podczas gdy całka

co

f ln 2 (sin x] ■ g (x) dx o

jest zbieżna zawsze.

5) Obliczyć całki

(a) I

1

7t

x ln sin x dx, o

(c)/

xdx

]/e*^x—l

Wskazówka, (a) Za pomocą podstawienia x = n—t całką sprowadzamy do J In sin x dx = *11    o

= 2flnsin/</r.

o    mi    |

(b), (c). Całki sprowadzają się do / ln sin tdt za pomocą podstawień x = sin /, ln .    .

o    ^sin *

6) Obliczyć całkę

i _

/= / j/l-Jt² ln

O

dx.

sin 0)

Mamy (przyjmując x

fc/2    n/2

J *= 2 f cos²0*lnctg0d0 —J cos 26• ln ctg 0 dO. o    o

Całkując przez części otrzymujemy dalej

7T/2

/ — Y sin 20 • ln ctg 0|£^/2 + y J sin

o

7) Obliczyć całkę

*12

20

1 1

ctg 0 sin²0

*!1

dO = J" dO — -i-jr.

X = J ln |sin²0—a²| rfO (a² < 1) .

Przyjmując a = sin to i korzystając z tożsamości

sin²0— sin²o = sin (0—to)—sin (0+ m),

mamy

* =

J ln |sin Q\dQ — J ln sin 0 dO = - łt ln 2.