0518

520

XIII. Całki niewłaściwe

Gdy zastąpimy tu cos² x przez 1—sin²*, łatwo otrzymamy wzór rekurencyjny

r _ n (#1 I) —

2 I 2    ^"~² •

n² + a²

Ponieważ £₀ = i    , więc ostatecznie w przypadku n nieparzystego

_E _ _(2*-l)!_

“ ‘    (l+o²)(3²+<i²)...[(2*-l)²+n²]

i odpowiednio w przypadku n parzystego

_E __2*!_

“ a (2²+fl²) (4²+o²) ... [(2Ar)²+a²] '

6) Łatwo daje się dostosować do przypadku całek niewłaściwych także uogólniony wzór na całko* wanie przez części [311, (7)].

Gdy mamy na przykład daną całkę

K= f e-«^,+‘>*L„(x)dx,

gdzie p>0 i L„(x) jest tak zwanym n-tym wielomianem Czebyszewa-Laguerre'a

_Ln{x) =    (n = 0, 1,2, ...) ,

dx*

to korzystając ze wspomnianego wzoru otrzymujemy

K= f ę-’* ^<j’S^x"^e~^X>. dx = [e-’*    _ ...

J    dxT    \ dx*~^l

0

}.    co    co

_x»_e-(/>+ >>* fj_x

I +(-!)»J _x*_e-*lŁj—dx = p'j o    o

i ostatecznie [patrz (4)]:

K =

__PI

(p+ l)"^+l

W sposób analogiczny otrzymujemy

0, gdy k=£n, gdy k = n.

/ e-*L_n(x)-L_k{x)dx =

490. Zamiana zmiennych w całkach niewłaściwych. Niech będzie dana funkcja f (x) określona i ciągła w przedziale skończonym lub nieskończonym <a, b), a więc całkowalna w sensie właściwym w każdej jego części nie zawierającej punktu b, który może być także równy + oo. Zakładamy, że punkt b jest jedynym punktem osobliwym funkcji f(x).

Rozpatrzmy teraz funkcję x = <p(t) monofonicznie rosnącą i ciągłą wraz ze swą pochodną <p\t) w przedziale <a, /?), gdzie fi może być też równe + oo. Załóżmy ponadto, że <p (ot) = a, a <p (ji) = b. Tę ostatnią nierówność należy rozumieć w ten sposób, że lim <p (!) = b.