0492

494

XIII. Całki niewłaściwe

(b) g(x) = -i- monofonicznie maleje i dąży do zera, gdy x -*• oo. f(x) = <?*'“ * sin 2x, więc (gdy

podstawimy sin x = i)

Jk    ■(■«

|J /(*) dx\ = 2| J te>dt\<2e.

(c) gr(jc) = |ln js|^a —. Dla dostatecznie dużych x

(x) -    (Ż-ln x) < 0,

a więc g (x) oczywiście maleje i dąży do zera itd.

(d) g(x) = — ; f(x) = sin (x+x²), więc (po podstawieniu z = x+x²) x*

I sin (x+x²)dx = f —^s*ⁿ ^    dz .

l/l+4z

” sin r

Wyrażenie to jest co do wartości bezwzględnej ograniczone, ponieważ całka J    J^est zbieżna

(o czym możemy się przekonać korzystając z tegoż kryterium Dirichleta).

6) Udowodnić twierdzenie:

Niech będzie dana funkcja f(x) okreilona w przedziale <o, + oo> o okresie co>0 i funkcja g(x) monofoniczna w tym samym przedziale i dążąca do 0, gdy x -*■ + ». Jeżeli całka (właściwa)

•+<a

(9)    J /(•*)dx — 0,

0

/ f(x)g(x)dx

to całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeżeli natomiast

«+<•>

(9*)    / f(x)dx=K*0,

0

to całka (5) jest zbieżna łub rozbieżna w zależności od tego, czy jest zbieżna czy też rozbieżna całka

CO

(10)    f g(x)dx.

0

(a) Załóżmy najpierw, że jest spełniony warunek (9) i udowodnijmy, że całka

f /( v) dx

jest wtedy ograniczona dla wszystkich A>a.

Z ustępu 314,10) i uwagi w ustępie 316 wynika oczywiście, że także

■+M»

/ f(x)dx~ 0    (*-1,2,3,...).