0486

488

XIII. Całki niewłaściwe

gdzie A < f < A . Z uwagi na założenie (1) możemy dla dowolnego ustalonego e > 0 dobrać takie A₀ > 0, że

|J7(x)dx|<^- ,    |//(x)dx|<^-,

A    «

jeżeli tylko A > A₀. Z uwagi na 2) mamy dla A' > A > A₀:

[ f /(*) 9(x) dx| < \g(A)\ • | Jf(x) dxj + \g(A’)\ ■ jj /(x) dx|

< L

2 L

A-L«

2 L

= a,

co pociąga już [475] zbieżność całki (5).

Dla całek możemy także podać inny układ warunków nałożonych na funkcje f(x) i g (x), przy których jest zbieżna całka z ich iloczynu.

Kryterium Dirichleta. Załóżmy, że:

1) funkcja f(x) jest całkowalna w każdym skończonym przedziale <a, Aj (A > a) i całka (4) jest ograniczona

j f / (x) dx j < K (K = const, a < A < oo),

a

2) funkcja g (x) jest zbieżna monofonicznie do 0, gdy x -+ oo,

lim g (x) = 0 .

JC-00

Wtedy całka (5) jest zbieżna.

Jak czytelnik zauważył, poprzedni warunek 1) jest nieco osłabiony, gdyż nie żądamy tu zbieżności całki (1), natomiast warunek 2) został zastąpiony mocniejszym.

Dowód prowadzimy jak poprzednio. Wychodzimy z równości (6), lecz w tym przypadku pierwsze czynniki g(A) i g(Aj można uczynić dowolnie małymi, jeżeli weźmiemy A i A’ dostatecznie duże, a drugie czynniki są ograniczone przez liczbę 2K.

Uwaga. Tu także kryterium Abela wynika z kryterium Dirichleta. Rzeczywiście, funkcja monotoniczna i ograniczona g(x) ma na pewno granicę skończoną

g(°c) = lim g (x).

x-oc

Przedstawiając f(x)-g (x) w postaci:

/(*) g W = /(*) g (°o)+/W •[g (x)-0 (co)]

widzimy, że dla drugiego iloczynu są już spełnione założenia kryterium Dirichleta [patrz 473, 3° i 4°].

Łatwo zauważyć, na przykład, że dla ż>0 całki

JJlŁŁrf* i fSSSirf, (a > 0)

a ^    a ^