0502

504

XIII. Całki niewłaściwe

/dx

-,    ■■■    -. Punkt osobliwy x = 1; mamy

x]/3x²-2x-l

6)f

dx

x ln x

f- **

{ x\/3x¹-2x-l

—arc sin

x±l_² 2x !

łt    3

--arc sin —

2    4

. Punkt osobliwy x = 1. Całka nie istnieje, bo funkcja pierwotna ln ln x przyjmuje

wartość ao dla x = 1.

482. Warunki i kryteria istnienia całki. Zajmiemy się tylko przypadkiem związanym z definicją (1), gdyż przeniesienie wyników na pozostałe przypadki nie sprawia już trudności. Z uwagi na całkowitą analogię z całką niewłaściwą w przedziale nieskończonym <a, oo> ograniczymy się tylko do sformułowania pewnych podstawowych twierdzeń. Dowody przebiegają analogicznie jak poprzednio.

Na to, by była zbieżna całka niewłaściwa (1) z funkcji dodatniej /(x), potrzeba i wystarcza, żeby dla wszystkich rj > 0 zachodziła nierówność

b-<l

J f(x)dx < L (L = const) .

a

Twierdzenia porównawcze z ustępu 474 można sformułować i udowodnić w tym przypadku prawie dosłownie tak samo. Podamy bez dowodu wynikające stąd kryteria Cauchy'ego.

Załóżmy, że dla wartości x dostatecznie bliskich b funkcja f (z) ma postać

/(*) = ₇r^r    (^A>°>-

(b-xy

Wtedy:

»

1)    jeśli X < 1 / g (x) < c < + co, to całka J/(x) dx jęst zbieżna,

a

2)    jeśli X > 11 g (x) > c > 0, to całka ta jest rozbieżna.

Bardziej szczegółowa postać, wygodniejsza w praktyce:

Jeżeli dla x -* b funkcja f (x) jest nieskończenie dużą rzędu X > 0 (wporównaniu z —-—),

b-x

b

to całka / f(x) dx jest zbieżna lub rozbieżna w zależności od tego, czy X < 1 czy też X > 1.

a

Przykłady.

i

/%*x    l

-7—-. Funkcja podcałkowa ma dla x -*■ 1 rząd wielkości — :

o

, gdy x -*■ 1 .

1.1 1__, 1

J^l— x*    ^ 1 —jc    \/l+x+x¹+x³    |/4~