0488

490

XIII. Całki niewłaściwe

Jeśli drugi wzór napiszemy w postaci

ci^{1 2} = _ JSSLLa-J S2LL_dl,

l    1

to ze znanej własności całki oznaczonej [305, 12°] widać już, że pochodna funkcji ci a: jest rzeczywiście

, cos x równa-.

x

477. Sprowadzenie całki niewłaściwej do szeregu nieskończonego. Wiemy, że pojęcie granicy funkcji może być wprowadzone w dwojaki sposób — „w języku e — 6” i „w języku ciągów” [52, 53], Jeśli do funkcji 0 (A) [patrz (4)] zastosujemy tę drugą definicję granicy, to definicję (1) całki niewłaściwej można wysłowić tak: jakikolwiek weźmiemy

A„

ciąg {A_n} (A„ > a) liczb rosnących do nieskończoności, ciąg całek {J f(x)dx\ ma dążyć

a

co

do tej samej granicy skończonej (¹), która jest właśnie całką niewłaściwą J f (x) dx.

a

Z drugiej strony, granica ciągu {/ /(²) dx\ jest identyczna z sumą szeregu [362]

a

At At A\    Aj At    Ai A% Aj

i ⁺{/ -f}+{/ -/}⁺ - =/ + /⁺ /⁺ -

a    a a    aa    a Ai At

oo

Możemy więc twierdzić, że na to, by istniała całka niewłaściwa f f (,x) dx, potrzeba i wy-

a

starcza, żeby dla każdego ciągu A_n -²• oo (A„ > a) szereg

2 f f(x)dx (A₀ = a)

B=1 A,-1

był zbieżny do tej samej sumy, która jest właśnie całką niewłaściwą.

Zauważmy, że jeśli funkcja f(x) jest dodatnia (nieujemna), to warunkiem dostatecznym istnienia całki jest zbieżność wspomnianego szeregu dla jednego konkretnego ciągu {A,} (A_m - oo). Rzeczywiście, funkcja rosnąca (4) zmiennej A jest wtedy ograniczona przez sumę tego szeregu, a więc ma granicę skończoną dla A oo [474].

Sprowadzenie zagadnienia zbieżności całki do zagadnienia zbieżności szeregu jest często przydatne, pozwala zastosować liczne kryteria zbieżności lub rozbieżności szeregów.

99

Rozpatrzmy dla przykładu jeszcze raz całkę f-— dx, o której już mówiliśmy w poprzednim us-

0 ^x

tępię. Ponieważ sin x przyjmuje, gdy x rośnie, na przemian wartości dodatnie i ujemne i zmienia znak

1

A

2

Wystarczy założyć, że wszystkie ciągi {J f(x) dx} są zbieżne, żeby można już było twierdzić,

a

że będą miały tę samą granicę [53].