0500

502

XIII. Całki niewłaściwe

Rzeczywiście, przypuśćmy, że takiego punktu nie ma. Dla każdego punktu x z przedziału <a, 6) można by więc znaleźć takie otoczenie er, że funkcja nie jest w nim całkowalna. Stosując do układu otoczeń Z — {cr} pokrywąjącego przedział <a, by lemat Borela [88] łatwo moglibyśmy rozbić odcinek <a, 6) na skończoną liczbę części, tak że w każdej z nich funkcja jest całkowalna. Stąd wynikałaby już jednak całkowalność w całym przedziale <a, by wbrew założeniu.

Naturalne jest nazwać ten punkt c punktem osobliwym: w punkcie tym niecałkowalność funkcji jak-gdyby się „zagęszcza”. Punktów osobliwych może być lulka, a nawet nieskończenie wiele. Na przykład w przypadku funkcji Dirichleta [300, 2>] punkty osobliwe wypełniają cały przedział <0,1>.

Ograniczymy się do przypadku skończonej liczby punktów osobliwych c₀, c,, c₂, ..., c_m. W tym przypadku istotę osobliwości łatwo można wykryć: funkcja jest po prostu w otoczeniu każdego z nich nieograniczona (a więc właśnie nieograniczoność jest tu powodem niecałkowainości w sensie właściwym). Żeby się o tym przekonać, wystarczy rozpatrzyć przypadek, gdy jedynym punktem osobliwym jest b.

Niech więc dla dowolnego jj>0 (r)<b—a) funkcja f(x) będzie całkowalna (a więc koniecznie ograniczona) w przedziale <a, b—rj>, lecz niecałkowalna w przedziale ib—tj, by. Trzeba udowodnić, że przy tych założeniach funkcja nie może być ogranie zona w pobliżu punktu b. Załóżmy, że jest przeciwnie, to znaczy że dla wszystkich x z <a, by jest

l/MI <L (L = const).

g

Obierzmy dowolną liczbę e>0 i przyjmijmy ij< -yy-. Dla przedziału <a, b—rfy, w którym funkcja

OL

f{x) jest całkowalna, możemy do liczby -j e dobrać takie <5 >0, że po podzieleniu tego przedźiału na części o długości Ax_t < ó będzie

ę Wi'ńx? < je,

gdzie <ooznaczają jak zwykle odpowiednie oscylacje funkcji [297]. Możemy założyć poza tym, że 6<tj. Rozbijemy teraz cały przedział <a, by na części o długościach Ax,<6. Niech Ax_f, odpowiadają tym częściom, które nie wychodzą poza <a, ó—ij>. a Ax," pozostałym częściom. Tylko jedna spośród nich może wychodzić poza <a, 6—rj>, jeżeli tylko punkt b—r] nie występuje wśród punktów podziału. Mamy więc znów

2 weAxi> < -j e ,

e

z drugiej strony,

^ Wi"Axi" < 2 L- ^TAxi" < 2 L(r)+&) < 4 Lr} < je,

i"    i"

więc ostatecznie

- s+s^< *•

(    i' 1"

To gwarantuje już [297] całkowalność funkcji f(x) w całym przedziale <a, 6>, punkt b nie jest więc punktem osobliwym, wbrew założeniu. Dowód został przez to zakończony.

Tak więc w przypadku skończonej liczby punktów osobliwych możemy je scharakteryzować właśnie w ten sposób, że w pobliżu nich funkcja nie jest ograniczona, co posłużyło już nam do określenia punktów osobliwych w poprzednim ustępie.

481. Zastosowanie podstawowego wzoru rachunku całkowego. Przykłady. Niech funkcja f{x) będzie określona w przedziale <a, b} i całkowalna w sensie właściwym w każdym przedziale <a, b—tf), a b niech będzie jej punktem osobliwym. Jeżeli funkcja /(x) ma w przedziale <n, b), tzn. dla a < jc < b, funkcję pierwotną F(x), to

ff(x)dx = F (b—r])—F (a) = F (x)|