0478

480

XIII. Całki niewłaściwe

Przykłady:

o    o

3) f    = lim [ ,^dx , — lim (—arc tg A') = 4-w.

j l-\-X²    a'—<o » 1+Jf    A'—a    ^

—oo    >4

+00    +» o

⁴> / T}W + /-•

—ao    O    —oo

471. Zastosowanie podstawowego wzoru rachunku całkowego. W podanych wyżej przykładach obliczyliśmy najpierw całkę w przedziale skończonym za pomocą funkcji pierwotnej, a następnie przechodziliśmy do granicy. Można połączyć oba te kroki w jednym wzorze.

Niech, na przykład, będzie dana funkcja f(x) określona w przedziale (a, + oo) i całkowalna w każdej skończonej jego części {a, A). Jeśli funkcja f(x) ma oprócz tego funkcję pierwotną F(x) w całym przedziale <a, +oo), to na podstawie podstawowego wzoru rachunku całkowego [308]

j f (x) dx = F(A)-F(a) = F(*)|;

Widać stąd, że całka niewłaściwa (I) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica

lim F (A) = F (oo).

.A'-oo

Mamy wtedy

Analogicznie

j f(x)dx = F (oo) —F (a) = F (x)|®.

a

jf(x) = F(x)\i₀₀, f f(x) dx = F (.y)|“oo

—00    -co

gdzie przez F(—oo) jest oznaczona granica lim F(A’). Sama możliwość podstawienia

A ——00

granic całkowania związana z istnieniem i ze skończonością występującej w niej granicy świadczy już o zbieżności całki.

Przejdźmy do dalszych przykładów.

472. Przykłady

»/ £r"sin bx dx (a>0). Ponieważ funkcją pierwotną jest o

F(x) =

więc F(0) = —b/(a²+b²) i F(oo) = O, a zatem

a sin bx+b cos bx -• e

²+b²

b

a² + b²

CO

J e~^ax sin bx dx o