0552

554

XIII. Całki niewłaściwe

a więc

h

/

0

1/2

g(x)dx+ J <p (x) dx - hi+hz-0

Otrzymujemy natychmiast

hi

576293

491520

1,6581248.

Całkę hz obliczamy według wzoru Simpsona, 2n — 10, do szóstego miejsca: hi « 0,003813. Stąd /_t « 1,661938. Szacując błąd jak poprzednio, otrzymujemy

h ⁼ 1,66193+o,ooooi •

Analogicznie

- 1/2 h= f *-^,/J(l-x)~³'*dx = f jr~^3/4(l-x)-'i*dx =

1/2

1/2

0

= / X-^J'“(l+|*+ ... +^x⁴)rfx+ / JC-^3,4[(l-2t)-^1/ł-(l+ ...)]<& = Ill+hl. o    o

Otrzymujemy

h, = 3,580291, A, = 0,002033,    /₂ = 3,582324.

Gdy oszacujemy błąd jak poprzednio, otrzymamy

h ⁼ 3,S8232ło.ooooos.

A więc

I = 5,24425 +o₍ooooi5    lub I — 5,24426±o,ooooi •

* ln

3) Dana jest całka / = J ——— dx. Osobliwość w punkcie x =0. o ¹ x

Celem wydzielenia osobliwości postąpimy podobnie jak poprzednio. Przyjmijmy

i    i

/= J(l+x+x^ł+x³+jc⁴)lnxrfjr+ J dx=*h+h.

o    o

Łatwo obliczyć całkowaniem przez części, że h = —1,46361... Całkę h obliczamy według wzoru Simpsona (2n = 10, z pięcioma cyframi po przecinku). Otrzymamy h « 0,18135. A więc/« —1,64496. Prawdziwa wartość szukanej całki [519, 1) (b)J: — -^it² — 1,644934...

Przy szacowaniu błędu obliczamy pochodną <p^w(x) według wzoru Leibniza [117]. Wygodnie jest przy tym korzystać z dającego się łatwo wyprowadzić wzoru

(gdzie c jest zawarte pomiędzy a i x), biorąc poza tym /(jr) = In x, a — 1. Oszacowanie z grubsza daje: |ę>‘⁴>(x)|<200. Stąd

IRl <-Ł-• — = 0,00011.

10⁴ 180

Ogólny błąd ±0,00013. Ostatecznie

|/| = 1,645_±o.ooo2 •