0508

SIO

XIII. Całki niewłaściwe

484. Wartości główne całek niewłaściwych. Przypuśćmy, że w przedziale <a, 6) dana jest funkcja f(x) mąjąca wewnątrz tego przedziału tylko jeden punkt osobliwy c i całkowalna (w sensie właściwym) w każdej jego części nie zawierającej c. Całka niewłaściwa w przedziale od a do 6 jest określona równością

//(*)dx =* lim{J + /},

-

przy czym granica musi istnieć przy niezależnym zdążaniu ij i ij' do 0. W pewnych przypadkach, gdy granica ta nie istnieje, pożytecznie jest rozpatrywać granicę, gdy r\ i r\' dążą do zera pozostąjąc stale równe: r/' — i) -*■ 0. Jeżeli ta granica istnieje, nazywamy ją (za Cauchy’m) wartością główną całki niewłaściwej

b

/ /(*) dx i oznaczamy symbolem

c-ł

V.p. / /(Jt) dx - lim {/ + f}.

(V. p. są literami początkowymi słów „Valeur principale” po francusku „wartość główna”). Mówimy » » wtedy, że całka f f{x) dx istnieje w sensie wartości głównej. Jeżeli całka f f(x) dx istnieje jako całka nie-

•    e

właściwa, to oczywiście istnieje także w sensie wartości głównej. Twierdzenie odwrotne jest na ogół fałszywe. Rozpatrzmy przykłady.

Przykłady

1) Całka f-(a<c<b) nie istnieje oczy wiście jako całka niewłaściwa, gdyż wyrażenie

7-^-+    --m^-l-ln-*-

J x—c J x—c    c—a n

^dx

x—c

nie ma określonej granicy, gdy t) i i?^# dążą do 0 niezależnie od siebie. Tymczasem, jeżeli powiążemy tj i tj' warunkiem rf — 17, to otrzymamy wyrażenie

J + f-ln-2=£-.

^J    c—a

b—c

e+ł

w rzeczywistości niezależne od 17, istnieje więc wartość główna

k

v._P. M^x-

J X —C

b—c

In

/dx    •

--— (ia<c<b, n>2) ma wartość nieskończoną dla n parzystego, a nie istnieje

. U—er

w ogóle jako niewłaściwa dla n nieparzystego. Rozpatrzmy wyrażenie

C dx . f dx ...    1 f 1___1__.    1    jv» 1 1

J (x—cY    J (x—cy n—1 \(a—c)’^-1    (b—c)’~^l ij*^-t    if-¹ J

a    *+ł

Dla n nieparzystego jest ono liczbą stałą. Taka sama będzie też wartość główna

(n — nieparzyste).

_v_ f dx ^    1    [    1___]_1

" J (x—cy n— I l (a—c)"^-ł    {b-cy~^l J