0544

546

XIII. Całki niewłaściwe

(podstawienie: / = sin a:), której wartość

"■ 7r In (o+ ^l+a^ł )

obliczymy później (Sil, 9)].

1S) Nakładając te same warunki na funkcję /(.x) udowodnić — znowu przy założeniu istnienia całki po lewej stronie — wzór

<n

/ /W ^dx = | /(*) ^dx •

O    O

Wskazówka. Tutaj też zastosujemy metodę Łobaczewskiego tylko z uwzględnieniem rozwinięcia na ułamki proste funkcji l/sin²jc [441,9)].

Gdy f(x) = 1, otrzymujemy znów znaną nam już całkę

f ^si^ dx=~

J x² 2

o

[patrz 494, 4)].

16)    Obliczyć całki (a, b>0):

(a) f -^si-ⁿ -°liⁱⁿ^ dx, (b) f    cos bx dx, (c) f    dx.

J    x    J x    J ln x

0    0    o

Wskazówka. Wszystkie sprowadzamy do całek Froullaniego; pierwsze dwie całki są dla a = b rozbieżne.

Odpowiedź.(a) Ini/~~~ , (b) ln ^^a    | . (c) lny-.

f \a-b\    b    b

17)    Obliczyć całki (a, b>0):

(a)/

_(b) f *ln(l+«)-«ln(l+fa) _dx (c) f

•'    x²    ■’    x²

o    o

Wskazówka. Wszystkie trzy sprowadzają się do całek Froullaniego całkowaniem przez części.

18) Obliczyć całkę (a>0)

b sin ax—a sin bx

dx,

1 \ dx

2/ x² '

Rozwiązanie. Mamy tożsamość

{e-*-e~^lx)+ — 2x    x

(

-M-)-

Całki z drugiego i trzeciego wyrażenia znoszą się wzajemnie (o czym łatwo można się przekonać przez zamianę zmiennej) i wszystkie sprowadzają się do całki Froullaniego. Odpowiedź: — y ln2.

19) Obliczyć całkę (a, 6>0)

f g~*^x—e~^ix+x{a—b) e~^ix ^