179

356 XVIII. Całki funkcji przestępnych

Dla obliczenia drugiej całki wykonujemy podstawienie sin * = r skąd cos x dx = dt f^_a

(3)

J sin x J t t sin;

•Itly

Uwzględniając wartości (2) i (3) otrzymujemy ostatecznie

J

~ 2~~- = ^ln |tg (ł⁷¹ +ł*)| 7^— + C .

sm *cos*    sinx

Zauważmy, że jeżeli sin *^0 i cos *#0, to funkcja po prawej stronie równości istnieje Zadanie 18.17. Obliczyć całkę

r= f -

J si:

dx

sm²*cos³*

Rozwiązanie. Mamy znowu całkę typu

dx

I

sin x cos x

gdzie n i m są liczbami naturalnymi. Zastrzegamy, że sin*#0 i cos*#0. Korzystając ze wzoru l = sin² *+cos² x otrzymujemy rozkład danej całki na dwie całki prostsze

(1)

dx

sin² x cos³ x

sin²*+cos²* sin² x cos³ x

M^⁺f

J COS³* J

dx

sin * cos*

Druga całka obliczona została w zadaniu poprzednim. Zajmiemy się przeto pierwszą całką:

dx

cos³*

(2)

sin *+cos * , f sin²*d* f dx

-3-dx= -j—+--

cos *    J cos * J cos*

Drugą z tych całek podaje wzór (18.1.5). Bierzemy więc pod uwagę całkę

sin²*d*

(3)

cos³*

sin*

sin*

cos³*

dx.

Stosujemy całkowanie przez części

u = sin *, dv=

sin*

cos³*

dx, skąd    du=cos xdx

sin*

cos³*

dx.

Aby obliczyć całkę v, wykonujemy podstawienie cos * = r, skąd —sin * dx = dt. Otw mujemy

a    — *    ^x

t ³dt——

-2    21¹ 2 cos²*

-J?-/

Wstawiając tę wartość całki do równości (1) i korzystając z wyniku zadania poprzedniego otrzymujemy ostatecznie

I:

;+§ln|tg(j;7t+i*)| +C.

Wracając

do całki (3) i stosując wzór na całkowanie przez części otrzymujemy sin²*d* sin*

f sin²*d* sin* f 1 cos³* 2cos²* J 2cos

2 cos *

Wracając z kolei do całki (2) otrzymujemy dx

sm*

■=—cos*d*=-5-

cos *    2 cos *

_ i T dx 2 J cos*

cos

sin * 1 j	\ ^dx + \	r dx
2 cos^2 * 2 J	cos* J	I cos*
sin * li	[* dx	sin*
2cos^2* 2 J	| cos* 2cos^2*

+±ln|tg(in+i*)|.

dx    sin *    1

sin²*cos³* 2cos²* sin*

Zauważmy, że jeżeli sin */0 i cos *#0, to funkcja po prawej stronie istnieje. Zadanie 18.18. Obliczyć całkę J tg² x dx.

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że cosx¥^:0. Weźmy pod uwagę wzór

l+tg²*=

1

2    ’

cos *

skąd tg² * =

1

cos²*

-1.

Podstawiając i wykonując całkowanie otrzymujemy (18.1.8)    J tg²*d*=tg*-* + C.

Zadanie 18.19. Obliczyć całkę J ctg² x dx.

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że sin*^0. Stosujemy wzór

1 "|-Ctg²*=—; r ,

sin *

skąd

ctg² * = ——=--1

sm *

¹ otrzymujemy 118.1.9)

| ctg²*d*= — ctgx-x + C.

Zadanie można też rozwiązać stosując wzór ctg * = tg (%n-x) i sprowadzając zadanie ^do zadania 18.18 (por. zad. 18.21).

Zadanie 18.20. Obliczyć całkę U„ = J tg" * dx, gdzie n jest liczbą naturalną większą niż 2.

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że cos *?s0. Ze wzoru tg²*=—^--1 mamy

cos

11 = f te"^-2 *te² * dx= f t oⁿ~²-r(_i__Wt-