186

370 XVIII. Całki funkcji przestępnych

18.120.	r dx	18.121.	r dx
	J e^2x-l '		e^x+e~^x '
18.122.	J %/e* +1 dx.	18.123.	fe^x —1 ~z—i ^dx-e +1
18.124.	f dx J \h>+2e^x '	18.125. jWl +e^x dx.
18.126.	!(s-ir^dx-	18.127. J(e^x +e~^x)^2 dx.
18.128.	f ** dx	18.129.	f4e^x+6e~^x
	J e^x+5^d		9e^x-4e'^x *'
18.130.	r dx	18.131.	r ?
	J e^x+e^2x'		(e^x+a)^n dX'
18.132.	C e^xdx	18.133.	dx
	J V3 — 5e^2x		Ve^2x + 4e* + l
18.134.	Jx^3 e~^x dx.	18.135.	* dx x ln x
18.136.	j ln (x^2 + 1) dx.	18.137. J(ln |x|)^2 dx.
18.138.	j\n (x + \/x^2 + 1) dx.	18.139. jln\2 + 5x\dx.
18.140.	f dx J x(l + ln^2 |x|)	18.141. J	x ^2 ln |x| dx.
18.142.	J" (4 + 3x)^2 ln \x\dx.	18.143. J	x^3 ln (x^2+3)dx
18.144.	f xa^x dx, a > 1 .

CAŁKI OZNACZONE

§ 19.1. UWAGI OGÓLNE

Weźmy pod uwagę funkcję /(x), o której stale będziemy zakładali, że jest ograniczona w przedziale domkniętym (a,by, tzn. dla a^x^b.

Dokonajmy różnych podziałów P,, P₂, ..., P_m, ... przedziału <o, bj na części. Niechaj podział P_m będzie osiągnięty przy pomocy n_m-1 liczb , x₂, x„_m. _lt przy czym

a=x₀<x₁ <x₂<...<x„_m_₁<x„_m = b,

gdzie dla ułatwienia oznaczyliśmy liczbę a jako x₀, a liczbę b jako x„_m. Będziemy nazywali przedziały    x₍>, gdzie i= 1,2,    przedziałami cząstkowymi podziału P_m,

a długości ich x_i-x_i-₁ oznaczali przez Ax_t. Niech S_m oznacza największą z liczb Ax_t, czyli długość najdłuższego przedziału cząstkowego podziału P_m. Ciąg podziałów {P_m} nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli lim <S_m=0.

m -♦ oo

Utwórzmy sumę S_m iloczynów wartości funkcji /(c,) w dowolnym punkcie c, przedziału (,x_i_₁,x_ly przez długości Ax_{ tych przedziałów przy podziale P„:

Hm

^(19u)    S_m= Y_jf(c_i)Ax_l.

i= 1

Jeżeli ciąg {S_m} dla m-><x) jest zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym podziałów {P_m} niezależnie od wyboru punktów c,, to funkcję/(x) nazywamy funkcją ^cc,lkowalną w przedziale (a, bj, a granicę ciągu (19.1.1) nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w granicach od a do b i oznaczamy symbolem

(19.1.2)

J/to dx.

a

Można wykazać, że jeżeli przy jakimś ciągu normalnym podziałów ciąg {S_m} ma gra-^nic? niezależną od wyboru punktów c,, to funkcja f (x) jest całkowalna.

Jednym z prostych sposobów tworzenia ciągu normalnego podziałów jest kolejne ^Przepolawianie przedziałów cząstkowych; wówczas

n_m = 2"

b — a

Ax,=-= <5

* 2^m n