180

358 XVIII. Całki funkcji przestępnych

Stąd otrzymujemy

(1)

tg" ²x

dx

2    ^w n — 2 ‘

COS X

dx

Wykonujemy podstawienie tg x = t, skąd—5—=dt. Otrzymujemy

cos X

tⁿ-²dt=-

n-1

r = •

n — 1

tg"'¹*.

Podstawiając tę wartość do wzoru (1) otrzymujemy wzór redukcyjny:

(18.1.10)    Un=—~ tg^B“^łx-l/_B_₂,    gdzie    U_n = J tg"jrdjr.

Zadanie 18.21. Obliczyć całkę V„ = f ctg" x r/x, gdzie w jest liczbą naturalną większą niż 2.

Rozwiązanie. Zastępując w poprzednim wzorze x przez ^-7t — jr, a U„ i U„_₂ przez V„ i V„-₂ i zmieniając po obu stronach znaki otrzymujemy wzór redukcyjny

(18.1.11)    V„ = —^l-ctg"~^lx-V_n_₂,    gdzie    V„ = J ctg" xdx.

n — 1

Zadanie 18.22. Obliczyć całkę jtg⁶xdx.

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że cos*#0. Stosujemy wzór redukcyjny (18.1.10): U₆=!tg⁵x-l/₄, U^tg³x-U₂.

Na podstawie wzoru (18.1.8) mamy

U₂ = 1 tg² xdx = tgx-x.

Podstawiając powyższe kolejno do U_A otrzymujemy

fy₄ = |tg³A:-tgjr + A:,

a następnie na podstawie wzoru na U₆ otrzymujemy

J Ig⁶xdx=~tg⁵x—jtg³A- + tgx-A: + C.

Zadanie 18.23. Obliczyć całkę J ctg⁵ xdx.

Rozwiązanie. Zastrzegamy, że sinjr#0. Stosujemy wzór redukcyjny (18.1 -1*)• V₅=-\^^Ax-V_i, V₂ = —jctg² x — P, .

Na podstawie wzoru (18.1.7) mamy

V₂= J ctgjrdjc = ln|sin x\■

Po podstawieniach i uproszczeniach otrzymujemy

J ctg⁵xdx = -jCtg⁴x+-jCtg²x + In|sinx| +C.

c J8.2. OGÓLNE METODY SPROWADZANIA CAŁEK TRYGONOMETRYCZNYCH DO FUNKCJI WYMIERNYCH

Ą Rozważmy całkę typu

_)g 2.1)    J l?(sinx, cosx, tgx)dx,

^ie symbol R(u,v, w) oznacza funkcję wymierną względem zmiennych u, v i w. Aby hliczyć całkę tego typu, wykonujemy podstawienie

2 du

tgix=w, skąd x=2arctgu , dx—-5•

Znane są wzory trygonometryczne wyrażające w sposób wymierny funkcje danego kąta przez tangens połowy kąta:

2 tg i* _____ l-tg²i* ^ 2tg|x

sin x =

1 + tg² |x’

cosx=

1 +tg ;X

21 » tg-* , ,21

'    “    1 —tg jX

Korzystając z tych wzorów mamy

2 u

sinx =

1 — u

COSX= .-J,

tgx =

2 u

1 -u^:

1+u²’    1+u³

W ten sposób całka przekształci się z całki trygonometrycznej na całkę funkcii wymiernej zmiennej u:

f    f    / 2u    l—u² 2u \    2

(18.2.2) R (sin x, cos x ,tgx)dx= R[ -j, --5, --j)---jdu.

J    J    \1 + u    1+u    l—u /    1+u

Zadanie 18.24. Obliczyć całkę

I:

2+cosx

Rozwiązanie. Mianownik nie przybiera wartości zerowej. Stosujemy podane po-"yżej podstawienie tg -}x = u. Otrzymujemy

2 du

du

f -Jl__

J 2+cosx    l — u    J u

^J J 2 +-> ^J

1+u²

+ 3

Otrzymaliśmy całkę funkcji wymiernej. Podstawiamy u = _sj3v, skąd du = j3dv. Otrzymujemy

dx

2+cosx

statecznie

f J3dv 2 C du 2    2    u

-²J iTO-^J ?T7-73^arc,8,'-y5^arot873

+ C.

}Tiśr,-i^arct805‘8ł*)'