chądzyński7

chądzyński7



44 2. FUNKCJE ZESPOLONE

i.-

Stąd i z (2) otrzymujemy (1).

To kończy rozwiązanie.    □

i


ć

?■'

ii


A.

?


2.6. Homografia

Zadanie 1. Pokazać, ze homografia przekształca homeomorficznie C na C.

Rozwiązanie. Homografia przekształca wzajemnie jednoznacznie C na C. Płaszczyzna domknięta jest przestrzenią metryczną zwartą, zatem wystarczy pokazać, że homografia jest odwzorowaniem ciągłym (patrz [Ru], twierdzenie 4.17 lub [JW], zadanie 7.43).

W myśl twierdzenia 1.14.2, każda homografia jest złożeniem skończonej ilości przekształceń liniowych i inwersji. Zatem żeby pokazać ciągłość Pornografii, wystarczy pokazać, że przekształcenie liniowe i inwersj a są ciągłe. __

Niech Z : C —► C będzie przekształceniem liniowym. Funkcja l jest oczywiście ciągła w C. Z analizy rzeczywistej mamy lim|£|_+00 \l(z)\ — 4-co. Stąd i z określenia metryki sferycznej mamy limz_KXI/(^) = oc, co daje ciągłość l w punkcie oo.

Niech h : C —» C będzie inwersją. Funkcja h jest oczywiście ciągła w C*. Z określenia metryki sferycznej

d(z, 0) — d(h(z), oo) i d(z, oo) = d(h(z), 0) dla z £ <CA.    ;•

e

Stąd dostajemy ciągłość h w punktach 0, oo.

To kończy rozwiązanie.    □ £

i-

f.

Zadanie 2. Pokazać, że przekształcenia homograficzne wraz z dzia- l laniem składania przekształceń tworzą grupę.

i

Rozwiązanie. Oznaczmy przez H zbiór przekształceń hoinograficznych C na C.

Oczywiście przekształcenie tożsamościowe, oznaczmy je e, należy do H i dla każdego h £ H mamy e o h — h o e = h.

Niech hi,h-2 £ H będą postaci

. a-iZ + bi , . a2z 4- b2 hi(z) =-—,h2{z) -


i

t

i

&


C\ z + dl

Wówczas łatwo sprawdzamy, że


C2Z + d2


(1)


fil O fi2(2)


(aia2 4- b\C.2)z 4- (0,162 4- bid2) (cjfl2 T d]C2)z -j- (ci&2 + did2)


(axa2 + bic2){cib2 + dxd2) - (aib2 + bxd2)(cia2 + dic2) — (a\dx — biCj)(a2d2b2c2) 7^ 0.

Zatem hx o h2 G H.

Również dla każdego h G H postaci

h(z) =


az b cz + d


przekształcenie h* postaci

h'(z)


—dz b

cz — a należy do H, bo (~d)(—a)—bc =£ 0. Z (1) W3mika łatwo, że hoh*(z) = h*oh(z) = z. Stąd h o h* — h* o h — e, czyli h-1 := h* jest elementem odwrotnym do h.

Z łączności składania przekształceń dostajemy, że (hi o h2) o h3 = hx o (h2 o h3) dla dowolnj^ch h1: h2. h:i G H.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 3. Pokazać, że dowolna homografia h : C —» C różna od tożsamości ma co najwyżej dwa punkty stale, tj. takie punkty z G Cże h(z) = z.

Rozwiązanie. Niech homografia h ma postać

h(z) =


gdzie adbc ^ 0.


a z -f- b

cz + ćf

Rozważmy najpierw przypadek, gdy c — 0. Wówczas h jest przekształceniem liniowym, dla którego 00 jest jednym punktem stałym. Jeśli teraz h jest przesunięciem, to h nie ma punktów stałych w C. Jeśli zaś h jest przekształceniem liniowym różnym od tożsamości i przesunięcia, to ma w C jeden pmikt. stały — jego środek (patrz § 1.14). Reasmnując, w tym przypadku h ma co najwyżej dwa punkty stałe.

Niech teraz c. 7^ 0. Wówczas pmikt 00 nie jest punktem stałym przekształcenia h, bo h(—d/c) — 00. Natomiast punkty stałe w C, zgodnie z określeniem, są zerami równania

^ ’    cz2 + (d — a)z — b = 0.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
chądzyński5 40 2. FUNKCJE ZESPOLONE Stąd (1)    tg Ti (z) = tg T2{z) dla z £ E. Z za
chądzyński4 46 2. FUNKCJE ZESPOLONE Zatem i w tym przypadku homografia h ma co najwyżej dwa punkty
chądzyński1 34 2. FUNKCJE ZESPOLONE Istotnie, w przeciwnym razie Arg[2oexp(7r — <a)i] = tt dla p
chądzyński1 98 6. FUNKCJE REGULARNE 98 6. FUNKCJE REGULARNE □ To kończy rozwiązanie. Zadanie 3. Pok
chądzyński3 102 6. FUNKCJE REGULARNE 102 6. FUNKCJE REGULARNE □ To kończy rozwiązanie. 6.3. Residua
chądzyński6 126 6. FUNKCJE REGULARNE To kończy rozwiązanie części (a). (b). Rozwiążemy teraz drugą
chądzyński5 180 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE 180 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZ
358 XVIII. Całki funkcji przestępnych Stąd otrzymujemy(1) tg" 2x dx 2    w n — 2
17 Funkcje zespolone. Nie jest to funkcja holomorficzna w punkcie z0 = 0, ponieważ dla z ^ 0 pochodn
6 Funkcje zespolone. Ponadto jeżeli 2 ^ 0, to pierwiastek y/z ma dokładnie n różnych
chądzyński1 12 2. FUNKCJE ZESPOLONE Zadanie 5. Niech S C C będzie obszarem jednospójnym. Pokazać, z
chądzyński2 14 2. FUNKCJE ZESPOLONE Zadanie 3. Niech f będzie funkcją M-różniczkowalną w punkcie a.
chądzyński3 16 2. FUNKCJE ZESPOLONE Kładąc w (3) kolejno = 0, h = 0 i hi = h%, dostajemy odpowiedni
chądzyński5 20 2. FUNKCJE ZESPOLONE 20 2. FUNKCJE ZESPOLONE l
chądzyński7 24 2. FUNKCJE ZESPOLONE Ponieważ równania (b) i (13) są równoważne, więc z (1) i (7) dl
chądzyński8 26 2. FUNKCJE ZESPOLONE Pokazać, ze arcsin 2: = (1/z) [log i (z — J z2 — 1) U log i(z +
chądzyński9 28 2. FUNKCJE ZESPOLONEco daje _ ; .i (z — yjz2 — 1) = —i lub (z — yfz2 — 1) = — 1 lub
chądzyński1 32 2. FUNKCJE ZESPOLONE Niech teraz v / 0. Wówczas z (2) i różnowartościowości funkcji
chądzyński3 36 2. FUNKCJE ZESPOLONE mocy zadania 4 dla dowolnego k £ {1,..n} istnieją funkcje ciągł

więcej podobnych podstron