chądzyński7

44 2. FUNKCJE ZESPOLONE

i.-

Stąd i z (2) otrzymujemy (1).

To kończy rozwiązanie.    □

i

ć

?■'

ii

A.

?

2.6. Homografia

Zadanie 1. Pokazać, ze homografia przekształca homeomorficznie C na C.

Rozwiązanie. Homografia przekształca wzajemnie jednoznacznie C na C. Płaszczyzna domknięta jest przestrzenią metryczną zwartą, zatem wystarczy pokazać, że homografia jest odwzorowaniem ciągłym (patrz [Ru], twierdzenie 4.17 lub [JW], zadanie 7.43).

W myśl twierdzenia 1.14.2, każda homografia jest złożeniem skończonej ilości przekształceń liniowych i inwersji. Zatem żeby pokazać ciągłość Pornografii, wystarczy pokazać, że przekształcenie liniowe i inwersj a są ciągłe. __

Niech Z : C —► C będzie przekształceniem liniowym. Funkcja l jest oczywiście ciągła w C. Z analizy rzeczywistej mamy lim|_£|_₊₀₀ \l(z)\ — 4-co. Stąd i z określenia metryki sferycznej mamy lim_z__KXI/(^) = oc, co daje ciągłość l w punkcie oo.

Niech h : C —» C będzie inwersją. Funkcja h jest oczywiście ciągła w C*. Z określenia metryki sferycznej

d(z, 0) — d(h(z), oo) i d(z, oo) = d(h(z), 0) dla z £ <C^A.    ;•

e

Stąd dostajemy ciągłość h w punktach 0, oo.

To kończy rozwiązanie.    □ £

i-

f.

Zadanie 2. Pokazać, że przekształcenia homograficzne wraz z dzia- l laniem składania przekształceń tworzą grupę.

i

Rozwiązanie. Oznaczmy przez H zbiór przekształceń hoinograficznych C na C.

Oczywiście przekształcenie tożsamościowe, oznaczmy je e, należy do H i dla każdego h £ H mamy e o h — h o e = h.

Niech hi,h-2 £ H będą postaci

. a-iZ + bi , . a₂z 4- b₂ hi(z) =-—,h2{z) -

i

t

i

&

C\ z + dl

Wówczas łatwo sprawdzamy, że

C₂Z + d₂

(1)

fil O fi₂(2)

(aia2 4- b\C.2)z 4- (0,162 4- bid₂) (cjfl2 T d]C₂)z -j- (ci&2 + did₂)

(a_xa₂ + bic₂){cib₂ + d_xd₂) - (aib₂ + b_xd₂)(cia₂ + dic₂) — (^a\d_x — biCj)(a₂d₂ — b₂c₂) 7^ 0.

Zatem h_x o h₂ G H.

Również dla każdego h G H postaci

h(z) =

az b cz + d

przekształcenie h* postaci

h'(z)

—dz b

cz — a należy do H, bo (~d)(—a)—bc =£ 0. Z (1) W3mika łatwo, że hoh*(z) = h*oh(z) = z. Stąd h o h* — h* o h — e, czyli h^-1 := h* jest elementem odwrotnym do h.

Z łączności składania przekształceń dostajemy, że (hi o h₂) o h₃ = h_x o (h₂ o h₃) dla dowolnj^ch h_1: h₂. h_:i G H.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 3. Pokazać, że dowolna homografia h : C —» C różna od tożsamości ma co najwyżej dwa punkty stale, tj. takie punkty z G C₇ że h(z) = z.

Rozwiązanie. Niech homografia h ma postać

h(z) =

gdzie ad — bc ^ 0.

a z -f- b

cz + ćf

Rozważmy najpierw przypadek, gdy c — 0. Wówczas h jest przekształceniem liniowym, dla którego 00 jest jednym punktem stałym. Jeśli teraz h jest przesunięciem, to h nie ma punktów stałych w C. Jeśli zaś h jest przekształceniem liniowym różnym od tożsamości i przesunięcia, to ma w C jeden pmikt. stały — jego środek (patrz § 1.14). Reasmnując, w tym przypadku h ma co najwyżej dwa punkty stałe.

Niech teraz c. 7^ 0. Wówczas pmikt 00 nie jest punktem stałym przekształcenia h, bo h(—d/c) — 00. Natomiast punkty stałe w C, zgodnie z określeniem, są zerami równania

^ ’    cz² + (d — a)z — b = 0.