8592539738

17

Funkcje zespolone.

Nie jest to funkcja holomorficzna w punkcie z₀ = 0, ponieważ dla z ^ 0 pochodna / (z) nie istnieje. Warunki Cauchy-Riemanna są spełnione tylko w punkcie zq = 0, gdyż dla (x, y) ^ (0,0)

□

Definicja 3.24. Funkcja f jest holomorficzna w obszarze E, jeżeli jest holomorficzna w każdym punkcie tego obszaru.

Holomorficzność w obszarze oznacza dokładnie to samo, co istnienie pochodnej w każdym punkcie tego obszaru.

Przykład 3.25. Znając część rzeczywistą u(x, y) = x²—y² funkcji holomorficznej możemy znaleźć tę funkcję. Z równań Cauchy-Riemanna mamy:

dy’ dy

dv du

Stąd

v(x, y) = 2 xy + C(x),

oraz

OV    /    /

— = 2y + C (x) = 2y =i> C (x) = 0 => v(x, y) = 2xy + D.

Ostatecznie

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = x² — y² + i(2xy + D) = (x + iy)² + iD.

□