chądzyński3

102 6. FUNKCJE REGULARNE

102 6. FUNKCJE REGULARNE

□

To kończy rozwiązanie.

6.3. Residua i twierdzenie o residuach dla prostokąta

Zadanie 1. Pokazać, ze jeśli funkcja f ma w punkcie z$ € C biegun co najwyżej k-krotny i rozwija się w sąsiedztwie £7 tego punktu w szereg Laurenta postaci

OO

(*)    /(*) = 53 ^an(^z “ ^z°)ⁿ’

n=—k

to współczynniki tego rozwinięcia dane są wzorami

•,n G N,

(**)

ft\z)

nl

gdzie fo(z) = (z — z₀)^kf(z) dla z € £7.

Rozwiązanie. Ponieważ szereg w (*) jest zbieżny w £7, to szereg ^an(z - ^o)^n+fc = T,Z=o^an-k(^z ~ ^zo)” J®* również zbieżny w £7. Stąd

OO

(1)    (* - 2b)*/(«) = 53    “ ^Zo)^{n dla Z G} °‘

n—0

Połóżmy £7₀ = £7 U {^o} i

oo

(2)    /₀(*) := 53“n-fc(^ ~ zqY dla ^z ^

n—0

Ponieważ otoczenie £7o jest zawarte w kole zbieżności szeregu w (2), więc na mocy wniosku 1.27.2 funkcja /o jest holomorficzna w £7o-Zafcem, w myśl wzoru (1.27.3), mamy

(3)    •

Z drugiej strony, na mocy wniosku 1.24.1 i wniosku 1.9.1 funkcja /o ma ciągłe pochodne wszystkich rzędów w £7₀ i (z — zf)^kf{z) = fo(z) dla z G £7, zatem lim_z^_ZQfjf^l\z) — ft\^zo)~ Stąd i z (3) dostajemy (**).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Pokazać, że jeśli funkcja f ma w punkcie Zq e C biegun co najwyżej k-kro lny, k > 1, to

:    ^res*> f ⁼ (fc-Tjj ^lim^° ~ ^z^^kf(^z)]^(fc_1) •

Rozwiązanie. Bezpośredni wniosek z zadania 1.

To kończy rozwiązalne.    □

iZadanie 3. Pokazać, że jeśli funkcja f jest holomorficzna w punkcie Zq € C 2 funkcja g ma w punkcie z₀ biegun jednokrotny, to funkcja fg ma w punkcie zq biegun co najwyżej jednokrotny i

;(*)    res₂₀ fg = f(z₀) res_Z(l g.

Rozwiązanie. Gdy ord₂₀ / > 0, to ord_Z0 fg> 0. Stąd res_Z(J fg = 0 i \f(zo) — 0, czyli wzór (*) zachodzi.

! Gdy ord₂₀ / = 0, to ord₂₀ fg = —1 i funkcja fg ma w punkcie . z₀ biegun jednokrotny. Wówczas, na mocy zadania 2, mamy

;    ^res2₀ f9 -    [{z - zęf)f{z)g(zj\

!    = f(zo) lim₂_₂₀ {(z - z₀)g{z)] = f(z₀) res_zo g.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Pokazać, że jeśli funkcje f,g są holomorficzne w punkcie zq € C i funkcja g ma w punkcie zq zero jednokrotne, to funkcja fjg ma w punkcie zq biegun co najwyżej jednokrotny i

.(*)    res₂₀ f/g = f(zo)/g\zo).

Rozwiązanie. W myśl wniosku 1.32.5, funkcja 1 fg ma w punkcie zq biegun jednokrotny Zatem, na mocy zadania 2, mamy

res₂₀ 1 jg = lim_z_>_zo [{z - z₀)jg(zj\ = l/g'(z₀).

Stąd i z zadania 3 funkcja fjg ma w punkcie z₀ biegun co najwyżej jednokrotny i

res*₀ fjg = f(z₀) res*_n 1 jg - f (z₀) / g'(z_Q).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 5. Pokazać, że funkcje 1 / sin ttz, ctg tt z są meromorficzne hu C, mają bieguny w zbiorze Z i wszystkie te bieguny są jednokrotne. Obliczyć residua funkcji 1/sin ttz, ctg ixz w ich biegunach.