chądzyński5

180 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE

180 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 9. Niech {u_a}_a^_A będzie 'rodziną funkcji subharmonicznyćh w zbiorze otwartym G C C. Pokazać, ze jeśli funkcja u := sup?i_a jąst półciągła z góry i u < +oo, to u jest funkcją subharmoniczną.

I

Rozwiązanie. Weźmy dowolny zbiór zwarty Ii C G i dowolną funkcję h ciągłą w Ii i harmoniczną w Int H taką, że u < h na dH. Wtedy dla każdego a £ A mamy u_a < h na dH. Ponieważ funkcja u_a jest sub-harmoniczna, więc na mocy twierdzenia II. 13.2 (a)=>(b) mamy u_a < h na H. W konsekwencji u < h w H, co na mocy twierdzenia II. 13.2 (b)=>(a) daje subharmoniczność u.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 10. Niech G CC będzie zbiorem, otwartym. Określmy funkćję 5 : G —>• R₊ U {Too} wzorem

r. , \ f inf {\z — w\ : w £ dG} , gdy G ^ C,

^d W ~ \ +oo,    'gdy G = C.

Pokazać, ze funkcja u (— ln) o S, lnO = —co jest subharmonicznd.

I

Rozwiązanie. Dla G = C zadanie jest oczywiste, bo 6 = +oo i u = —op. Załóżmy teraz, że G ^ C.

Pokażemy, że funkcja u jest ciągła. W tym celu zauważmy najpierw, że funkcja 5 jest dodatnia i spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1. Istotnie, dodatniość jest oczywista. Niech z’,z" £ G. Wtedy dla dowolnego w £ dG mamy

5 (z') < |z! — w\ < |z' — z"| + |z" — w\.

Stąd w myśl dowolności w dostajemy

<5(0 <    \z' -z"\ + 5(z").j

Ponieważ powyższa nierówność jest symetryczna ze względu na z' i z", dostajemy

|(5 (z') — <5 (z")| < \z' — z"\.

W konsekwencji funkcja 5 jest dodatnia i ciągła. Stąd łatwo dostajemy ciągłość funkcji u.

Z drugiej strony, z określenia u, dla dowolnego z £ G mamy ¹

Dla ustalonego w G dG funkcja G G 2 —+ —Yn\z — w\ jest harmoniczna. Z (1), ciągłości funkcji u i zadania 9 dostajemy subharmo-niczność u.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 11. Niech G C Kⁿ będzie obszarem i niech u : G —» IR U {—00} będzie funkcją lokalnie wypukłą. Pokazać, ze:

(a)    albo u — —00 albo funkcja u jest skończona,

(b)    funkcja u jest ciągła.

Rozwiązanie. Dla x = (aą,... ,x_n) G Kⁿ, |rc| = max (|mi |,..., |a7_n|). Niech x° G Mⁿ i r G M, r > 0. Oznaczmy przez A (x°, r) := {x G Mⁿ : \x — x°\ < r}, A (x°,r) := {x G Mⁿ : \x — x°\ < r}. Oczywiście A (x°, 7') jest kostką w Rⁿ.

Ustalmy dowolny punkt x° G G. Niech A (x°, r) C G będzie kostką domkniętą, w której funkcja u jest wypukła.

Pokażemy (a). Weźmy dowolny punkt x G A (x°, r)\{rr°} i połóżmy a — \x — x°\ Jr. Wtedy 0 < a < 1. Niech y = x° + (1/a) (x — x°) i z = x° + {1/a) {x° — x). Oczywiście y, z G A [x°, r) i ^{2 3}

(3)

u(x°) <

1

1 + a

u (x) +

OL

1 + Ol

u, (z).

Z (2) wnioskujemy, że jeśli u (x°) = —00, to u(x) = —00 dla x G A (x°,r). Z (3) natomiast - że jeśli u(x°) ^ —00, to u{x) ^ —00 dla x G A (x°,r). To pokazuje, że zbiory G\ := {x G G : u{x) = —00} i G2 := {x G G : u (x) 7^ —00} są otwarte w obszarze G. Zatem albo G\ — G, albo G2 — G, co daje (a).

Pokażemy teraz (b). Wystarcza ograniczyć się do przypadku, gdy funkcja u jest skończona.

Zauważmy najpierw, że funkcja u jest ograniczona z góry w A (:c°, r). Istotnie, niech x¹,...,x^N będą wszystkimi wierzchołkami A (x°,r). Wówczas z wypukłości A(T⁰,r) dowolny punkt x G A (x°,r) może być przedstawiony w postaci x = tix¹ + • • • + twx^N, gdzie U G M+ i

1

   u {z) — sup {— ln |z — w\ : w £ dG} .

2

   x = ay + (1 — ol) x°, x° = ———x + ———z.

1 + a 1 + a

Z (1) i z wypukłości funkcji u dostajemy

3

   u (x) < au (y) + (1 — a) u (x°),