chądzyński0

I

174

11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE

Zadanie 9. Niech K = {z G C : \z\ <r} i C będzie dodatnio zorien-towanym brzegiem K. Pokazać, ze jeśli f jest funkcją holomorficzną w K, to dla dowolnego z € K mamy

w

/« =

27xi

'c

RefiOC + z

C C-z

df + i Im/(O)

(wzór Schwarza). Rozwiązanie. Mamy

f Re/(CK + z

, d( =

( ~ z Jc

Jc C

Stąd i ze wzoru Cauchy’ego dla koła mamy

f Re/(C) C + *

/ (C) + / (0^ ^ 2

dc.

dc c C - *

Stąd i z zadania 8 dostajemy J_ f Ref(()< + z 2ni Jc

rfC = 2«/(_z)+ f pQ-dę-mf(0)-l f tNd(.

Jc ę ~~^z    2 Jc c

c

dC

c —^z

= f (z) -i Im /(O)

co daje (*).

To kończy rozwiązanie.

/ W + / (0) -(0) -    (0)

□

Zadanie 10. Ze wzoru Schwarza wyprowadzić wzór Poissona dla funkcji harmonicznej w kole.

Rozwiązanie. Niech u będzie funkcją harmoniczną w kole K_R = {z £ C : \z\ < R} i 0 < r < R. Z twierdzenia 1.60.1 wynika, że istnieje funkcja holomorficzna / : Kr —> C taka, że u = Re /. Niech 0 < r < R i K_r — {z € C : \z\ < r}. Ze wzoru Schwarza dla 2 G K_r mamy

¹ /"“(CK + z

(i)

i(z) = Re

-d(

.2ttż J_c ( C ~ ^z

Łatwo sprawdzamy, że Re [(£ + z) / (£ — z)] = (|£| Stąd i z (1) dla 2 G K_r dostajemy

^u{z)=Ke(ŁL ^u{°cJ^dv)=ŁL

gdzie f = re^t(p.

Vic-

'2ir

-d<p,

11.2. FUNKCJE SUBHARMONICZNE

175

I To kończy rozwiązanie.    □

11.2. Funkcje subharmoniczne

Zadanie 1. Niech p : (a, b) —► R. Pokazać, ze funkcja p jest wypukła dokładnie wtedy, gdy dła dowolnego c E (a, b) istnieje stała M taka, że

(*)    p (t) > p (c) + M (t — c) dla t € (a, b) .

Rozwiązanie. Łatwo zauważyć (patrz np. [Kra], stwierdzenie 6.72), że funkcja p jest wypukła dokładnie wtedy, gdy dla dowolnych ti,t2 € (a, b) zachodzi nierówność

₍ , t₂ ~c _f , c-1! _f , „

(1) P (c) < 7-r^-^ (U) + 7-yP (t₂) dla ti < c < t₂-

C2 “Cl    C2 Ci

Prosty rachunek pozwala wykazać, że nierówność (1) jest równoważna nierówności

m

< c <t₂.

Wówczas zachodzi

c — t\    t₂ — c

Załóżmy najpierw, że funkcja p jest wypukła. (2). Ustalmy c. Wtedy

₄ eiirł ^(c) ~^(U) _f p (t₂) - p (c)

A . sup_tl€(a>c) _ .    — ⁱⁿ^2€(c,6)    , _    . ń>.

iLatwo sprawdzić, że dla dowolnego A < M < B zachodzi (*).

Odwrotnie, załóżmy, że dla dowolnego c istnieje taka stała M, że zachodzi (*). Wówczas dla dowolnych t\ € (a, c), t₂ € (c, 6)

y(^c)-y(^fi) < _M< pfe) -<p(c)

c — t I ~    ~ t₂ — c

I

Stąd, na mocy (2), dostajemy wypukłość p.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech p będzie funkcją ciągłą i niemałejącą w IR i niech p (—oo) = lim_x_._₀₀ p (x). Pokazać, że jeśli funkcja u : G —> MU{—oo} jest półciągła z góry w zbiorze otwartym G C C, to funkcja po u jest również półciągła z góry w G.

i