chądzyński5

48 2. FUNKCJE ZESPOLONE

2.7. Ciągi i szeregi funkcyjne

Zadanie 1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Pokazać, że ciąg {f_n} funkcji zespolonych skończonych określonych na zbiorze X jest zbieżny jednostajnie na tym zbiorze do pewnej funkcji f : X C dokładnie wtedy, gdy spełnia następujący uummek Cauchy’ego:

(C)    V _c>03weRV_Tn,n>A^rV_xex \fnfa) ~ f_m(x) | < £

(kryterium Cauchy’ego jednostajnej zbieżności).

Rozwiązanie. Niech ciąg {f_n} będzie jednostajnie zbieżny do funkcji /. Weźmy dowolną liczbę £ > 0. Wówczas istnieje liczba rzeczywista N taka, że dla dowolnego n > N i dowolnego x € X mamy |/_fl(x) — /(x)| < ej2. Stąd dla m, n > N i x 6 X mamy

I fn{-r) - f_m(x) I < I fn(x) ~ f(x)\ + |/_m(x) ~ f (x) \ < £.

Niech teraz ciąg {/„} spełnia warunek (C). Wtedy, na mocy oczywistych nierówności | R.e^j < |z|, [ Im z\ < \z\, również ciągi {Re/_n} i {Im fn) spełniają warunek (C). Z kryterium Cauchy⁵ego jednostajnej zbieżności w dziedzinie rzeczywistej wynika, że ciągi {Re/„} i {Im f_n} są jednostajnie zbieżne odpowiednio do pewnych funkcji u : X —* K i v : X —» R. Wówczas, z oczywistej nierówności \z\ < | Rez| -ł- ] Im z\, również ciąg {/_n} jest jednostajnie zbieżny do funkcji u + iv.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech X będzie dowolnym zbiorem, {/_n} - ciągiem funkcji zespolonych skończonych określonych na zbiorze X i niech {A_n} będzie ciągiem liczbowym. Pokazać, że jeśli dla każdego x 6 X i każdego n £ A^ro mamy \f_n(x)\ < A„. i szereg W^_=(] A_n jest zbieżny, to szereg    fn jest jednostajnie zbieżny (kryterium Weierstrassa

jednostajnej zbieżności).

Rozwiązanie. Weźmy dowolną liczbę £ > 0. Ponieważ szereg jest zbieżny, więc na mocy zadania 1.5.1, zastosowanego do sum częściowych tego szeregu, istnieje N £ R takie , że dla dowolnych k >

l > N mamy j.4_;+1 H-----i- A_k\ < £. Niech {£„} będzie ciągiem sum

częściowych szeregu ^_rjL₀ f_n. Wówczas dla dowolnych k > l > N i x £ A” mamy

|S*(x) - s,(x)| = 1/i+iW + ■ ■ • + AMI <

l//+i(x)| +----f- |A(x)| < Ai+t +----t-

Stąd

(1)    — Si(x)| < e dla kJ>N i x € X.

2 (1) i z zadania 1 otrzymujemy jednostajną zbieżność szeregu To kończy rozwiązanie.