0468

470

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Dwie kolejne funkcje parzystego rzędu <p_2k(z) i <p_2k+₂{z) zachowują więc każda z osobna swój określony znak t»» (O, h), lecz znaki te są przeciwne. Uwaga ta zaraz się nam przyda.

Powróćmy do reszty R. Załóżmy teraz, że m jest liczbą parzystą: m = Ik. i że tym razem pochodne /^<2M(z) i/<“+J>(_z) są _w przedziale <o, 6> obie dodatnie lub obie ujemne.

Ze wzoru na R po dwukrotnym scałkowaniu przez części i uwzględnieniu (22) i (23) otrzymujemy kolejno

b    b    b    b

R = -y J 'p_2k(z)f»^{1 2}‘>(x+k-z)dz = J    *^ł,-ł'2i₊iW)/^l,n(jr+*-ł)* =

a O    a 0

1

ft    b    h

= -J- A_Ik ń³‘    U^t2k~'’(-v+ h) —/*³‘~"(.v)J —    ł>_ił+l(z)/«"+'»U+A-z) dz =

a    a 0

ft *

-    -J- 2 jj <p'_ltaz)P^{lk +} "(x+h-z)dz =

a o » ft

= A_2k ó“-^t[/^<2‘-^,,(ó)-/^,2l-"(«)]- -i J ę’ji+2(z)/'³‘^+2,(-v-f/; —z) dz .

_« o_

Ponieważ podkreślone sumy całek, jak to wynika z założeń, mają znaki przeciwne, więc pierwsza z nich ma ten sam znak co wyrażenie

A_2k A³*-' [/<^2,1 -'>(ó)—/'³*-² '(o)]

2

jest mniejsza od niego co do bezwzględnej wartości. A więc ostatecznie (21*) R = R_2k = 6 •/ł_2kA³‘-²[/‘^2t-'>(ó)-/⁽²‘-^,>(fl)] -

= 0. (_!)*-! _?Ł_- I [/(2*->)(„)]    (0 < 0 < 1).

(2k)\

Jeżeli założymy teraz, że wszystkie pochodne/^,2‘^,(z) parzystego rzędu zachowują w przedziale <n, /)> ten sam znak i zamiast skończonego wzoru (21) napiszemy szereg nieskończony, to po uwzględnieniu wartości (20) współczynników A_m otrzymamy szereg nieskończony Eulera-Madaurina

b    b

(24) JV(.t) =-1J/(x) dx- ± [f(b)-f(a)}+ -|j-h[f\b)-rm- ■|f-ń⁴[/'"(ó)-/'"(<2)]+ ...

0 0

(2k—2)\    (2k)\

Jest to na ogół szereg rozbieżny (a więc znak = został tu postawiony umownie!). Z uwagi na zrobione założenia jego kolejne wyrazy zmieniają znak poczynając przynajmniej od trzeciego wyrazu. Uwzględnia-

h

jąc ponadto (21*) można powiedzieć, że szereg ten oscyluje wokół sumy £ /(*) stojącej po lewej stronic równości. Jeżeli przestawimy teraz tę sumę z całką -r I f(x) dx, zmieniając przy tym znaki pozostałych

h ^J «

3

wyrazów na przeciwne, otrzymamy szereg oscylujący wokół tej całki.

b

Sumy częściowe tych szeregów pozwalają czasem obliczyć sumę £ z dużą dokładnością, gdy znamy

1 !

całkę lub obliczyć całkę — J , gdy znamy sumę. Oczywiście podstawową rolę w tym odgrywa fakt, że zna-0

4

my z góry oszacowanie reszty!