0412

414

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

wszędzie ciągłą funkcją zmiennej x. Za pomocą drobiazgowej analizy udało się Weierstrassowi wykazać, że tym niemniej nie ma ona skończonej pochodnej w żadnym punkcie.

Podamy tu prostszy przykład van der Waerdena, skonstruowany w zasadzie według tej samej idei, ale oscylujące krzywe y = cos <ox zostały tu zastąpione oscylującymi łamanymi.

Oznaczmy przez u₀(x) wartość bezwzględną różnicy między liczbą x, a najbliższą do niej liczbą całkowitą. Funkcja ta jest liniowa w każdym przedziale postaci <    j (s+1)>, gdzie s jest liczbą całkowitą.

Jest to funkcja ciągła o okresie 1. Jej wykres jest łamaną, pokazaną na rysunku 62 a. Poszczególne ogniwa łamanej mają współczynnik kątowy ± 1.

b)

y‘

-2

2x

Rys. 62

Przyjmijmy następnie dla £ = 1,2, 3, ...

4*

/ s s +1 \

Funkcja ta jest liniowa w przedziałach \-^pr, ^ 4" / ' ^^{est ona} P^onac*^to ci^ghi i ma okres równy

. Jej wykresem jest też łamana, ale o drobniejszych ząbkach; na rysunku 62 b. podany jest na przykład

wykres funkcji u,(x). We wszystkich przypadkach współczynniki kątowe poszczególnych ogniw łamanej są równe ±1.

Określimy teraz dla wszystkich wartości rzeczywistych x funkcję f(x) za pomocą równości

f(x) = ^ «»(-*■).

*-o

Ponieważ oczywiście 0<u_k(x)<-^-7z-(k = 0, I, 2, ...) i majorantą tego szeregu jest zbieżny szereg

2-4

oo ^

geometryczny V,, przeto (tak samo jak w przypadku funkcji Weierstrassa) szereg jest zbieżny o ^2-4

jednostajnie i funkcja f(x) jest wszędzie ciągła.

Zatrzymajmy się na dowolnej wartości x = x₀. Obliczając ją z dokładnością do 1/2 • 4* (gdzie n = 0, 1, 2, ...), z niedoborem i z nadwyżką otrzymujemy nierówności

2-4"

< Jfo

■S||-i- I 2-4’ ’

gdzie s„ jest liczbą całkowitą. Oczywiście, że przedziały domknięte

(« = 0,1,2,...)

\ 2 • 4"    2 ■ 4" /