0450

452

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Naturalne będzie określenie funkcji cos z i sin z dla dowolnego z zespolonego za pomocą analogicznych szeregów (14) zbieżnych na całej płaszczyźnie zmiennej z.

Ten sposób określenia funkcji trygonometrycznych nie jest już dla nas niczym nowym — w ustępie 443 skorzystaliśmy już z niego nawet w dziedzinie rzeczywistej, ażeby wprowadzić te ważne dla analizy funkcje nie odwołując się do geometrii. Wzorując się na przeprowadzonych tam rozważaniach moglibyśmy tutąj, już dla zespolonych wartości Zmiennej niezależnej, wyprowadzić twierdzenia o kosinusie i sinusie sumy, wzory redukcyjne i reguły różniczkowania tych funkcji.

Właściwie te same wyniki możemy otrzymać na innej drodze: przez ustalenie związku między funkcjami trygonometrycznymi i funkcją wykładniczą. Uogólniając mianowicie rozważania z ustępu 457 przeprowadzone dla z = yi na dowolne z zespolone możemy otrzymać [porównaj (5)]

e*" = cos z±i sin z ,

a stąd [porównaj (7)] (15)

_e»i_+e-n

cos z —-—-

e*‘—e~^łl 2/

Dzięki tym wzorom możemy całkowicie sprowadzić badanie funkcji trygonometrycznych do badania funkcji wykładniczej. Wzorów tych można by użyć do określenia funkcji trygonometrycznych zamiast (14). Proponujemy czytelnikowi przeprowadzić na podstawie wzorów (15) nowy dowód wspomnianych poprzednio własności kosinusa i sinusa, jak również dowód, że 1) cos z i sin z nie mają okresów różnych od 2kn [k — liczba całkowita] i 2) wszystkie pierwiastki tych funkcji są rzeczywiste.

Jeżeli w (15) przyjmiemy z = yi(y — rzeczywiste), to otrzymamy

(16)

cos yi =

e>+e~’

2

— cosh y,

sin yi =

• i = i sin h y .

W ten sposób otrzymuje się bezpośredni związek między funkcjami hiperbolicznymi o argumencie rzeczywistym a funkcjami trygonometrycznymi o argumencie urojonym. Zauważmy, że cos yi jest liczbą rzeczywistą zawsze większą od jedności.

Teraz, korzystąjąc z twierdzeń o sumie możemy napisać

cos (x+yi) = cos x cos yi—sin x sin yi,

sin (x+yl) = sin x cos yi+cos x sin yi

lub [biorąc pod uwagę (16)]:

cos (*+y») = cos * cosh y—i sin x sinh y, sin (Jt+yi) = sin x cosh y+i cos x sinh y

i rozłożyć w ten sposób kosinus i sinus na składowe. Funkcje tg z i ctgz określamy wzorami

tgz =

sin z cos z

1 . e*¹—e~^łl

i * e“+e-^zl

(z * (k+±)n),

ctg z =

cos z _ . e^łl+e~*^ł sin z

(z + kii) .

Jak widać mąją one okres równy n.