0442

444

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

W przyszłości, jeżeli tylko nie zrobimy innych zastrzeżeń, będziemy rozpatrywali tylko funkcje jednoznaczne.

Jeżeli w = u+vi jest funkcją zmiennej z = x+yi w obszarze Z = {z} = {jr+yi}, to jej części rzeczywista i urojona u i v też będą oczywiście funkcjami z lub, co na to samo wychodzi, funkcjami x, y w odpowiednim obszarze S* = {(*, y)}, który geometrycznie jest przedstawiony tą samą figurą co i Z:

u = u(x,y), v = v (x, y).

Na przykład w przypadku funkcji rzeczywistej w = \z\ lub w = arg z mamy odpowiednio:

u = tfx²+y² lub u — 2arctg-~---- (y = 0);

x+yx²+y²

w przypadku funkcji tv = z" = (x+yi)" jest oczywiście

v

u = x"

nx"~'y—

n(n-1) 1-2

jt"-V+ •••,

n (n—i) (n—2) r—3,,3, 12-3

Niech c będzie punktem skupienia obszaru S. Mówimy, że funkcja w = f(z) ma granicę C, gdy z dąży do c('), jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej e>0 można dobrać taką liczbę <5>0, że |/(z)— C|<«, jeżeli tylko |z—c|<<5 (i z^c).

Fakt ten odnotowujemy jak zwykle:

lim w = lim/(z) = C.

z-»c    *-*c

Łatwo można zmienić sformułowanie tej definicji na przypadek, gdy c (lub C) jest równe 00. Można ją wypowiedzieć także „w języku ciągów”.

Jeśli c — a+bi, C = A+Bi, to jak łatwo wynika z rozważań ustępu 454, poprzedni wzór jest równoważny z dwoma wzorami

lim u (x, y) = A i lim v (jr, y) = B .

x~*a    x~»a

y~b    .    y-6

Ciągłość funkcji /(z) w dowolnym punkcie zo^Jro+yo* obszaru^ definiujemy za pomocą równości

lim f(ż) =/(z₀).

*-*o

Ciągłość funkcji /(z) jest oczywiście równoważna ciągłości obu części rzeczywistej i urojonej u (x, y) i t> (x,y) w punkcie (x₀, y₀).

Tak więc, gdy przypominamy sobie podane przed chwilą wzory na |z| i na składowe z" widzimy, że są to funkcje ciągłe na całej płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Podobnie arg z jest ciągły wszędzie z wyjątkiem punktów ujemnej części osi rzeczywistej i zera.

Ciągłość można oczywiście stwierdzić także bezpośrednio z rozważań w dziedzinie zespolonej. Na przykład dla funkcji |z| wynika ona od razu z nierówności

|M-Uol| < l*-*ol

Dla funkcji z" mamy

z"—z £ = (z—z₀)(z"^_,-|-ZoZ"-²+ ... +zS^_I).

(‘) Tutaj c i C są liczbami zespolonymi.