0370

372

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

Twierdzenie 1. Niech funkcje u„{x) (n = 1,2,3,...) będą określone w przedziale % = <o, b} i wszystkie ciągle w pewnym punkcie x = x₀ tego przedziału. Jeżeli szereg (3) jest jednostajnie zbieżny w przedziale DC, to suma szeregu f (x) jest też ciągła w punkcie x = x₀.

Podobne twierdzenie było po raz pierwszy sformułowane przez Cauchy’ego, lecz słynny autor nadał mu zbyt ogólną postać, nie żądając jednostajności, bez czego przestaje ono być prawdziwe.

Dowód. Zachowując poprzednie oznaczenia mamy dla dowolnego n = 1,2, 3, ... i dowolnego x z 'DC:

(U)    /(x)=/,(x)+9»_#(x)

w szczególności

/(X o) =/n(x₀) + ?>.(Xo),

skąd

(12)    l/(x) - /(x₀)| < |/„(x) - f„(x₀)\ + |t>_n (x)| + l9».(x₀)|.

Obierzmy teraz dowolnie e > 0. Z uwagi na jednostajną zbieżność szeregu można ustalić wskaźnik n tak, by nierówność

(13)    Wx)| < e

była spełniona dla wszystkich wartości x przedziału DC, a więc i dla x = x₀. Zauważmy, że przy ustalonym n funkcja f„(x) jest sumą pewnej określonej, skończonej liczby funkcji m*(x), ciągłych w punkcie x — x₀. Dlatego też jest ona ciągła w tym punkcie i dla danego e > O możemy dobrać takie ó > O, że jeżeli tylko |x-x₀| < S, to

(14)    l/_n(x)-/„(xo)| <e.

Teraz z uwagi na (12), (13) i (14) nierówność |x-x₀| < S pociąga

l/(x)-/(x₀)| < 3e, i twierdzenie zostało udowodnione.

Oczywiście jeżeli funkcje u„(x) są ciągłe w całym przedziale X = <a, by, to przy zbieżności jednostajnej suma szeregu (3) / (x) też będzie ciągła w całym przedziale.

To, że żądanie zbieżności jednostajnej nie może być opuszczone w wysłowieniu twierdzenia, widać na przykładzie szeregu

Sów

n»l

[patrz 428, 8)], którego suma równa się 1 dla x / O i równa się O dla x = 0. Jednak zbieżność jednostajna jest w tym twierdzeniu tylko warunkiem dostatecznym i nie należy sądzić, że jest ona warunkiem koniecznym ciągłości sumy szeregu O — na przykład szeregi

(15)

^]2x [n²e-"²*²

rr=l

nx

l + w²x²

(n-Qx 1 l+(n-l)²x²J

(') Patrz następny ustęp