8 (0)

126

~7. Ciągi i szeregi funkcyjne

7.8. Twierdzenie. Ciąg funkcji {f„} określonych na zbiorze E,jest na tym zbiorze zbieżny jednostajnie wtedy i tytko wtedy, gdy dla dowolnego e > O istnieje liczba naturalna N taka, że przy m > N,n > N,xe E mamy )

(13)    I/. (*)-/* Wl < 8.

Do wód. Niech ciąg ff_n} będzie zbieżny jednostajnie na zbiorze E do funkcji f Istnieje wtedy liczba naturalna N taka, że jeśli n > N i x e E, to zachodzi nierówność

_; |/,(x)-/(x)| < je.

Wtedy

l/» W-/«W1    *• rn

jeśli n > N, m > N, x e £.

Na odwrót, niech będzie spełniony warunek Cauchy’ego. Na mocy twierdzenia 3.11 ciąg {•/»(*)} jest przy każdym x zbieżny do granicy, któfą oznaczymy przez f(x). Pokażemy, że zbieżność jest w tym przypadku jednostajna.

Niech będzie dana liczba e > 0. Niech N będzie takie, aby spełniona była rtierówrióść(l3).^v Ustalmy n i przejdźmy w nierówności (13) z m do granicy. Ponieważ j/^%)^/(x) przy    óóI'

otrzymamy

(14)    I/.W-/WI < e

dla dowolnego n > N i dowolnego Me £. Dowód jest zakończony.

Czasami użyteczne bywa następujące kryterium.

7.9. Twierdzenie. Niech

lim/,(x) =/(x)    (xe£).

Określmy

M* = sup|/„(x)-/(x)|.

*«£

Wtedy /„*-»/ jednostajnie na E wtedy i tylko wtedy, gdy przy n-* oo.

Dokładnego dowodu, który bezpośrednio wynika z definicji 7.7, nie przytoczymy. Weierstrasso wi zawdzięczamy bardzo wygodne kryterium zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych.

7.10. TWIERDZENIE. Niech {f„} będzie ciągiem funkcji określonych na zbiorźe E i niech l/» WI < M_h (x e £,« =1,2,3,...).

Wtedy szereg YJ»j^est zbieżny jednostajnie na E, jeżeli jest zbieżny szereg liczbowy £ M_n. Dowód. Jeżeli szereg £ M„ jest zbieżny, to przy dowolnym e > 0

^ l|^WI <£***<* (xeE),

jeśli tylko min są dostatecznie duże. Zbieżność jednostajna wynika teraz z twierdzenia 7.8.