8 (12)

138

7. Ciągi i szeregi funkcyjne

Zbiór si funkcji o własności: jeśli/, s si przy n = 1,2, ,*i/₍₁-*/jednostajnie na E, tofe si, nazywa się jednostajnie domkniętym.

Niech SS będzie zbiorem wszystkich funkcji, które są granicami ciągów jednostajnie zbieżnych na E, których wyrazy są elementami zbioru si. Wtedy ŚS nazywa się jednostajnym domknięciem zbioru si. (Porównaj definicję 7.14.)

Na przykład, zbiór wszystkich wielomianów jest algebrą i twierdzenie Weierstrassa można sformułować w następujący sposób: zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale (&, b) jest jednostajnym domknięciem zbioru wszystkich wielomianów określonych na

7.29.    TWIERDZENIE. Niech SS będzie jednostajnym domknięciem algebry si, której elementami są funkcje ograniczoną■ Wedy £ jest algebrą jednostajnie domkniętą.

Dowód. JeżelifeSSigeSS, to istnieją ciągi {/„} i {g„},f_H -*f g„^gj„ e si i zbieżność jest jednostajna. Korzystając z tego, że funkcję, z którymi mamy do czynienia, są ograniczone, bez trudu można pokazać, że

| /.*+&.7*J+gc

gdzie c jest stałą, a zbieżność jest we wszystkich trzech przypadkach jednostajna. Zatem f+g g SS,fg e SS i cf eSS i S6 jest algebrą. Na mocy twierdzenia 2.27 Si jest (jednostajnie) domknięta.

7.30.    DEFINICJA. Niech si będzie zbiorem funkcji określonych na zbiorze E. Powiemy, że si rozdziela punkty zbipru E, jeżeli dla dowolnej pary x₂, x₂ różnych punktów zbioru E istnieje funkcja fes/ taka, że f(x₁) ^ f(x₂).

Jeżeli dla każdego punktu xją£ istnieje funkcja gęsi taka, że g(x) ć 0, to powiemy, że algebra si nie znika w żadnym punkciezbioru £.

Algebra wszystkich wielomianów jednej zmiennej ma oczywiście te własności na R¹. Przykładem algebry, która nie rozdziela punktów, może być zbiór wszystkich wićlomianów parzystych rozpatrywanych, na przykład, na przedziale <-1, 1>. Wynika to z faktu, że f(~x) = f(x) dla dowolnej funkcji parzystej.

Poniższe twierdzenie ilustruje to pojęcie.

7.31.    TWIERDZENIE. Niech si będzie algebrą funkcji określonych na zbiorze E, rozdzielającą punkty zbioru E i nie znikającą w żadnym,punkcie zbioru E. Niech x/i x₂ będą dwomd różnym punktami zbioru E, a ci§c% # dwoma stałymi (rzeczywistymi, jeśli algebra si jest rzęczjm$ta),Jsinieje wtedy funkcja fe si taka, ze

_ jf(*l) = C_h /(*4r3 Cj.

Udowodnimy teraz twierdzenie Stone’a, które jest uogólnieniem twierdzenia Weierstrassa.

Dow ód. Z naszych założeń wynika, że algebra si zawiera funkcje g,hik takie, że # g(x₂),    h(x)j fi; 0,    k (x₂) ji 0.

Określmyu = gk—gfajk, t>= gh—g(x₂)h.Wt£dy ue si,v e si,u(x_x) ** e(x₂) = 0,u(x₂) # 0 i e(xi) ^ 0 i wobec tego funkcja