8 (10)

136

Ciągi i szeregi funkcyjne

Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa

7.26. TWIERDZENIE. Jeżeli f jest funkcją ciągłą o wartościach zespolonych, określonąna przedziale {a, b}, to istnieje ciąg wielomianów P„ takich, że

lim P„(x) = /(x)

i zbieżność jest jednostajna na przedziale <a, by. Jeżeli funkcja jest rzeczywista, to i wielomiany P„ można wybrać rzeczywiste.

W tej właśnie postaci twierdzenie to zostało sformułowane przez Weierstrassa.

Dowód. Nie tracąc ogólności możemy założyć, że <a, by = <0,1) oraz że/(0) = /(1)= = 0. Istotnie, jeżeli twierdzenie w tej postaci byłoby prawdziwe, to rozpatrzmy funkcję

g(x) = /(*) —/(O)—x [/(1) —/(O)]    (0 < x < 1).

Funkcja g spełnia warunki g(0) = g(l) = 0 i różnica/-r? jest wielomianem. Zatem jeśli potrafimy przybliżać funkcję g(x) za pomocą wielomianów, to to samo dotyczy funkcji/(x). Określimy dodatkowo funkcję / dla x nie należących do przedziału <0, 1>, przyjmując /(x) = 0 dla x, które nie leżą w przedziale <0,1). Wtedy/(x) jest funkcją jednostajnie ciągłą na całej prostej rzeczywistej.

Określmy

(47)    fi. W = c_n(l-x²r (n — 1,2,3,...),

gdzie liczby c„ są tak dobrane, aby

(48)    SQ_n(x)dx=l (n= 1,2,3,...).

-i

W dalszym ciągu potrzebne nam będą pewne informacje o rzędzie wielkości liczb c„. Ponieważ

1    1    l/y/n

f (1 -x²)ⁿdx= 2/(1 -x²fdx >2 I fl-x²)ⁿdx >

-1    0    o

l/fr,    4    1

^ 2 f (1 -nx²)dx = —p > —p, o    3v^    y/H

z (47) i (48) wynika, że

(49)    c„ < yfn.

Nierówność (l-x²)" ^ (1—nx²), którą się posłużyliśmy, można bez trudu udowodnić. W tym celu należy rozpatrzyć funkcję (1—x²)"— 1+nx², która jest równa zeru przy x = 0 oraz ma dodatnią pochodną na przedziale (0,1).

Przy dowolnym S > Q z nierówności (49) wynika, że

Q_n(x) yfi(l-S²y (5 < |x| < 1),

zatem Q„~* Określr

(51)

Z nasz

a ostatnia z ciągiem wi< rzeczywista \m-m i

Niech h I P.(x)-/

(50)

jeżeli tylko i

Jest rzet zauważmy t jednostajnej

W dowo ci. Wykorzy

7.27.    Wl P„(0)=0/

I

Dowód, kach rzeczy WHOpn

mają wymag

Postaran dowodzie tw

7.28.    De algebrą, jeżel (iii) dla dow domknięty z

Będzienr c musi być o