0420

422

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

a szukamy rozwinięcia funkcji

/(*) =• In g (*) = <ii x+a₂ x*+a₃ x*+ ... +n« x*+ ...

Łatwo zrozumieć, że współczynniki a i 6 są związane tymi samymi zależnościami (8). Tym razem trzeba wyznaczyć współczynniki a.

5) Udowodnić, że iloczyn nieskończony

FM = f[ (1 +«-*) = (1 +**) (1 +q* x) (1 +q* x) ...    (|«| < 1)

M-l

można dla dostatecznie małych x rozwinąć w szereg według potęg x. Wyznaczyć współczynniki tego rozwinięcia.

Dla |jc| < 1 iloczyn jest zbieżny i ma wartość dodatnią: logarytmując go otrzymujemy In F(x) =    ln<l+$".*) =    (q"x- jq*^mx*+ ...) .

n>l    m-l

W szczególności szereg ten będzie zbieżny, gdy wszystkie jego wyrazy w nawiasach zastąpimy ich wartościami bezwzględnymi. Stąd [445] wynika, że w otoczeniu zera ln F(x), a wraz z nim [tym razem na mocy twierdzenia z 446] także wyrażenie

F(x) = e‘^mr(I},

można rozwinąć w szereg według potęg x.

Dla dostatecznie małych x mamy więc

F{x) = 1+6, x+b₂ x*+ ... +b.x^m + ....

gdzie należy jeszcze wyznaczyć współczynniki 6,, b₂, ..., 6„, ... Najprościej można to zrobić biorąc za punkt wyjścia oczywistą równość:

F(x) = (.\+qx)F{qx),

którą, korzystając z rozwinięcia, można przedstawić w postaci

1+6, x+b₂ x*+ ... +6«*"+ ... = (l+<?Jt) (l+biqx+b₂q*x²+ ... +b.q*x*+ ...). Stąd na mocy twierdzenia o równości szeregów potęgowych otrzymujemy

biq+q = b_t, b₂q*+byq² = b₂,    ....    6„$*+6.-, q' = 6.,    ...,

czyli

ó.=

Ó.-.4*

1-<T ’

i ostatecznie

by

\-q

b₂ =

(l-q)(l-q^z)

6) Weźmy rozkład funkcji

sin x

na iloczyn nieskończony [408] i jej rozwinięcie w szereg potęgowy

[404, (12)] i porównajmy ich logarytmy [401, 4*]:

czyli

oo .

n

•-i

m-l

120

+ ...